Introdução a Gravitação

Lei da Gravitação Universal

Analisando  as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. Uma tremenda capacidade de generalização e um conhecimento  profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir que as forças gravitacionais são funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas.

Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os  separa, a intensidade da força gravitacional  é dada por:

F = (Gm1m2) / d2

Onde:

F: força de atração
G: constante de gravitação universal
m1 e m2: massas dos corpos estudados
d: distância entre os corpos

Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância  r a ser considerada é entre seus centros.

A força gravitacional F é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta que une os centros dos corpos.

Na expansão anterior G = 6,67.10-11 unidades do Sistema Internacional são uma constante chamada constante de gravitação universal.

Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio interposto entre os corpos.

Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos pequenos (pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F entre suas massas tem pequena intensidade e é desprezível.

Esta lei estabelece duas relações importantes:


Fig. 1

Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
Quanto maior as massas dos corpos, maior a  força de atração, e vice-versa.

Da figura acima temos que a força F1 de atração que o  Sol exerce sobre o planeta é maior que F2 porque a distância que o planeta está do Sol na  posição 1 é menor que a distância na posição 2.


A relação com a aceleração da gravidade 

Supomos agora que o corpo de massa M seja a Terra (Figura 2.1). E o corpo de massa m se encontra sobre a sua superfície.


Fig. 2.1

Desde que a Terra é muito grande em relação ao corpo, podemos considerar a distância entre os mesmos como o próprio raio da Terra R.

Verifica-se que qualquer corpo próximo à superfície terrestre sofre uma aceleração constante g (aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s2). Ou seja, o seu peso P é igual a mg. E deverá ser igual à força dada pela fórmula anterior. Assim:

mg = k M m / R2. Ou M = g R2 / k.

Portanto, conhecendo-se o raio da Terra, pode-se determinar a sua massa.


Energia de um sistema gravitacional 

Consideramos, conforme Figura 3.1, dois corpos de massa M e m, sendo M muito maior que m. O corpo de massa m descreve uma trajetória genérica, com velocidade v em relação a M. É o caso típico da Terra e de um satélite.

A energia cinética do sistema será a soma da energia cinética de ambos os corpos. Mas, considerando M como referência e dado que M>>m, ela pode ser representada por:

Ec = m v2 / 2 (a demonstração desta igualdade não é aqui colocada, mas notar a semelhança com a equação da energia cinética em Dinâmica II).

A variação infinitesimal da energia potencial é:

dEp = F dr = k M m dr / r2.


                        Fig. 3.1

E a energia total será: E = Ec + Ep = m v2 / 2 - k M m / r.

A energia total tem relação com a trajetória de m conforme Figura 3.2 (demonstração não dada nesta página).

Se E>0, m percorre uma trajetória em forma de hipérbole.
Se E=0, m percorre uma parábola.
Se E<0, m percorre uma trajetória fechada, em forma de elipse.

Assim, para um corpo orbitar em torno de outro, a energia do sistema deve ser negativa.


                     
Fig. 3.2

Velocidade de escape  

Conforme Figura 4.1, consideramos o corpo de massa M como a Terra e desejamos saber que velocidade ve deveria ser dada a um corpo de massa m sobre sua superfície para este alcançar qualquer lugar no espaço ou, seja, o infinito. Esta é a chamada velocidade de escape.

É lógico supor que a menor velocidade para escape deverá corresponder à energia total nula. Assim:

E = m ve2 / 2 - k M m / r = 0. Então, ve2  = 2 k M  / R.


Fig. 4.1

Calculando para a Terra, o valor aproximado de Ve é 40700 km/h. É uma velocidade bastante alta para os nossos padrões usuais e, assim, não é difícil imaginar quanta energia é gasta para lançar satélites, naves e sondas espaciais.

Para uma idéia da ordem de grandeza dos números, a figura ao lado é uma representação simples do conjunto de um ônibus espacial (space shuttle) americano.

Observação: a escala da figura e todos os números indicados são aproximados.

No lançamento o conjunto é formado basicamente por: nave e propulsores de combustível líquido (azul), tanque externo de combustível líquido (marrom) e dois impulsores auxiliares de combustível sólido (vermelho). A massa total aproximada é 2050 toneladas.

A nave, com a carga máxima que pode levar, tem massa aproximada de 110 toneladas.

E, portanto, a massa útil levada ao espaço é apenas 5,4% da total de lançamento.


             Fig. 4.2

E, se a velocidade de escape fosse muito alta...

A fórmula anterior vale para qualquer corpo esférico e não somente para a Terra. Notar também que ela depende apenas da massa e do raio. Portanto, matematicamente, nada impede a existência de um corpo com uma grande massa concentrada em um volume pequeno, de forma que sua velocidade de escape seja, por exemplo, igual à velocidade da luz!

A teoria espacial da relatividade afirma que a velocidade da luz é o limite de velocidade do universo e, assim, nada, nem a própria luz, conseguirá sair de um corpo com velocidade de escape igual à da luz. E um corpo nessa situação seria o chamado buraco negro.

Observar que o raciocínio anterior não prova a existência de buracos negros mas indica apenas a possibilidade da sua existência. Por nada emitirem, buracos negros não podem ser vistos diretamente, mas observações astronômicas sobre os efeitos em regiões vizinhas sugerem que realmente existem no universo.

A teoria aceita para a origem dos buracos negros é a contração de estrelas de grande massa após o final da sua vida útil (esgotamento do hidrogênio). O nosso Sol, por não ter massa suficiente, não se transformará em um deles.

Autoria: Gilberto Ivan de Oliveira Júnior

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