Gravitação

Introdução a Gravitação

Desde cedo, na história da humanidade, há registros de observações dos corpos celestes. Antigos escritos chineses falam de fenômenos astronômicos, como eclipses, surgimento de cometas, etc. Os antigos navegantes orientavam-se pelo movimento da Lua e pelas estrelas. A mitologia grega, romana e e outros povos do passado colocava seus deuses no céu e procurava explicar os fenômenos observados como sendo manifestações divinas.
O estudo propriamente científico dos astros se iniciou com os filósofos da Grécia antiga que, pela primeira vez, tentaram explicar os movimentos dos corpos celestes sem recorrer aos mitos e à religião. São deles as primeiras descrições do nosso sistema planetário.
Em sua famosa obra Almagesto, o último grande astrônomo grego da Antiguidade, Cláudio Ptolomeu (100-170), propõe um sistema planetário geocêntrico, pois estabelece estar a Terra no centro do Universo. A Lua e o Sol descreveriam órbitas circulares em torno de um centro que por sua vez descreveria outra órbita circular em torno da Terra . Esse centro era necessário para explicar as observações dos movimentos dos planetas no céu.

Conceitos sobre a lei de Newton para a gravitação, energia gravitacional, velocidade de escape, buracos negros.

Durante muito tempo o sistema de Ptolomeu se manteve aceito sem refutações. Somente no século XVI foram levantadas novas hipóteses sobre o Universo. O astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), em sua obra Sobre a revolução dos corpos celestes, publicada prudentemente no ano de sua morte, rompe com o passado propondo ser o Sol o centro do Universo. Os seis planetas então conhecidos, Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno, nessa ordem, descreveriam órbitas circulares em torno do Sol.
            Galileu Galilei (91564-1642) foi um ardente defensor das idéias copernicanas. A utilização de instrumentos ópticos de forma sistemática nas observações astronômicas lhe permitiu obter fortes evidências a favor do sistema planetário heliocêntrico de Copérnico.
            Entretanto, coube a um jovem astrônomo alemão, contemporâneo de Galileu, Johames Kepler (1571-1630), estabelecer de forma definitiva como os planetas se movem em volta do Sol. Discípulo e assistente do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546 - 1601), Kepler herdou os registros das pacientes e precisas observações de seu mestre, que lhe permitiram após muito estudo e trabalho, enunciar as três leis que explicam o movimento planetário.
            Hoje sabemos que o Sistema solar é constituído de nove planetas (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão) que, nessa ordem, descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol .

Lei da Gravitação Universal

Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. Uma tremenda capacidade de generalização e um conhecimento profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir que as forças gravitacionais são funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas.
Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa, a intensidade da força gravitacional é dada por:

F = (Gm1m2) / d²

Onde:

F: força de atração

G: constante de gravitação universal

m1 e m2: massas dos corpos estudados

d: distância entre os corpos

     Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser considerada é entre seus centros.
     A força gravitacional F é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta que une os centros dos corpos.
     Na expansão anterior G = 6,67 . 10-11 unidades do Sistema Internacional são uma constante chamada constante de gravitação universal.
     Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio interposto entre os corpos.
     Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos pequenos (pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F entre suas massas tem pequena intensidade e é desprezível.

Esta lei estabelece duas relações importantes:

Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.

Da figura acima temos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2
porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.

A relação com a aceleração da gravidade

Supomos agora que o corpo de massa M seja a Terra (Figura 2.1). E o corpo de massa m se encontra sobre a sua superfície.

Desde que a Terra é muito grande em relação ao corpo, podemos considerar a distância entre os mesmos como o próprio raio da Terra R.

Verifica-se que qualquer corpo próximo à superfície terrestre sofre uma aceleração constante g (aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s²). Ou seja, o seu peso P é igual a mg. E deverá ser igual à força dada pela fórmula anterior. Assim:

mg = k M m / R². Ou M = g R² / k #II.1#.

Portanto, conhecendo-se o raio da Terra, pode-se determinar a sua massa.

Energia de um sistema gravitacional

Consideramos, conforme Figura 3.1, dois corpos de massa M e m, sendo M muito maior que m. O corpo de massa m descreve uma trajetória genérica, com velocidade v em relação a M. É o caso típico da Terra e de um satélite.

A energia cinética do sistema será a soma da energia cinética de ambos os corpos. Mas, considerando M como referência e dado que M>>m, ela pode ser representada por :

E_c = m v² / 2 #III.1# (a demonstração desta igualdade não é aqui colocada, mas notar a semelhança com a equação da energia cinética em Dinâmica II).

A variação infinitesimal da energia potencial é:

dE_p = F dr = k M m dr / r².

Considerando nula a energia potencial no infinito, temos:
E_p =  dE_p = k M m _,r dr/r² = - k M m / r.
E_p = - k M m / r.

E a energia total será: E = E_c + E_p = m v² / 2 - k M m / r #III.2#.

A energia total tem relação com a trajetória de m conforme Figura 3.2 (demonstração não dada nesta página).

Se E>0, m percorre uma trajetória em forma de hipérbole.

Se E=0, m percorre uma parábola.

Se E<0, m percorre uma trajetória fechada, em forma de elipse.

Assim, para um corpo orbitar em torno de outro, a energia do sistema deve ser negativa.

Velocidade de escape

Conforme Figura 4.1, consideramos o corpo de massa M como a Terra e desejamos saber que velocidade v_e deveria ser dada a um corpo de massa m sobre sua superfície para este alcançar qualquer lugar no espaço ou, seja, o infinito. Esta é a chamada velocidade de escape.

É lógico supor que a menor velocidade para escape deverá corresponder à energia total nula. Assim:

E = m v_e² / 2 - k M m / r = 0. Então,

v_e² = 2 k M / R #IV.1#.

Calculando para a Terra, o valor aproximado de V_e é 40700 km/h. É uma velocidade bastante alta para os nossos padrões usuais e, assim, não é difícil imaginar quanta energia é gasta para lançar satélites, naves e sondas espaciais.

Para uma idéia da ordem de grandeza dos números, a figura ao lado é uma representação simples do conjunto de um ônibus espacial (space shuttle) americano.

Observação: a escala da figura e todos os números indicados são aproximados.

No lançamento o conjunto é formado basicamente por: nave e propulsores de combustível líquido (azul), tanque externo de combustível líquido (marrom) e dois impulsores auxiliares de combustível sólido (vermelho). A massa total aproximada é 2050 toneladas.

A nave, com a carga máxima que pode levar, tem massa aproximada de 110 toneladas.

E, portanto, a massa útil levada ao espaço é apenas 5,4% da total de lançamento.

E, se a velocidade de escape fosse muito alta...

A fórmula anterior vale para qualquer corpo esférico e não somente para a Terra. Notar também que ela depende apenas da massa e do raio. Portanto, matematicamente, nada impede a existência de um corpo com uma grande massa concentrada em um volume pequeno, de forma que sua velocidade de escape seja, por exemplo, igual à velocidade da luz!

A teoria espacial da relatividade afirma que a velocidade da luz é o limite de velocidade do universo e, assim, nada, nem a própria luz, conseguirá sair de um corpo com velocidade de escape igual à da luz. E um corpo nessa situação seria o chamado buraco negro.

Observar que o raciocínio anterior não prova a existência de buracos negros mas indica apenas a possibilidade da sua existência. Por nada emitirem, buracos negros não podem ser vistos diretamente, mas observações astronômicas sobre os efeitos em regiões vizinhas sugerem que realmente existem no universo.

A teoria aceita para a origem dos buracos negros é a contração de estrelas de grande massa após o final da sua vida útil (esgotamento do hidrogênio). O nosso Sol, por não ter massa suficiente, não se transformará em um deles.