Funções de 2º Grau

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?

O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 (foto), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 1²= 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 2²= 20

metros; depois de 3 segundos, 5 X 3²= 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x² metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x². Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

1. O grau de uma função
O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de
maior grau.

Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.

2. Definição
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

f (x) = ax² + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax². É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax³, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.

Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x²

f (x) = ax²

f (x) = ax²+ bx

f (x) = ax² + c

Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax²; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax² + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax² + c.


Figura 1	Figura 2

Como exemplo, vamos analisar as duas situações seguintes:

•	Como calcular a área de um círculo cujo raio irá variar? (Figura 1, acima, à esquerda).
•	Qual será a área de um retângulo cuja altura é cinco unidades menor que sua base? (Figura 2, acima).

Precisamos das funções quadráticas para resolver estes problemas.
No primeiro caso, a função será:

A (r) = r²

No segundo caso, teremos:

A (x) = x² – 5x

É comum pensarmos que a expressão algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares. Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada. Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.

Figura 3

3. Representação gráfica da função y = ax²
Como acontece com toda função, para representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores (Figura 3, ao lado).

Começamos representando a função quadrática y = x², que é a expressão mais simples da função polinomial de segundo grau.

Se unirmos os pontos com uma linha contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:


Figura 4

Observando atentamente a tabela de valores e a representação gráfica da função y = x² vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do gráfico.

Além disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.

Figura 5

Na Figura 5, ao lado, estão as representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y = ax².

Observando com atenção a Figura 5 podemos afirmar:

•	O eixo de simetria de todos os gráficos é o eixo Y. Como x² = (– x)², a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
•	A função y = x² é crescente para x > x_v e decrescente para x < x_v. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de x correspondem pequenas variações de y.
•	Todas as curvas têm o vértice no ponto (0,0).
•	Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.
•	Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.
•	Se o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:

a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y.

a < 0, a parábola abre-se para valores negativos de y.

•	À medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria: quanto maior \|a\|, mais a parábola se fecha.
•	Os gráficos de y = ax² e y = –ax² são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.

Figura 6a

4. Representação gráfica da função y = ax² + c
Vamos observar as tabelas de valores e suas representações gráficas nas Figuras 6a, acima e 6b, abaixo:

Figura 6b

O gráfico y = x² – 3 é obtido baixando-se 3 unidades no gráfico da função y = x².

O gráfico de y = – x² + 5 obtém-se elevando-se em 5 unidades o gráfico da função y = – x².

Figura 7

Para lembrar:

Em geral, o gráfico da função y = ax² + c se obtém deslocando o gráfico y = ax² em c unidades na direção do eixo Y, como mostra a Figura 7, ao lado.

As duas funções y = x² – 3 e y = – x² + 5, representadas nas Figuras 6a e 6b, têm as seguintes características:

•	Seu eixo de simetria é Y.
•	São simétricas com relação ao eixo Y.
•	Para a > 0, o gráfico se abre para as ordenadas positivas.
•	Para a < 0, o gráfico se abre para as ordenadas negativas.
•	O vértice da parábola é o ponto V (0, c).
•	O gráfico desloca-se verticalmente em função de c.

5. Representação gráfica da função y = ax²+ bx
Acrescentar um termo de primeiro grau à função estudada y = ax² implica uma única modificação: a parábola sofre uma translação. Isto significa que o vértice já não será o ponto (0, 0), como mostra a Figura 8, abaixo.

Por isso, para poder representar a parábola, será necessário encontrar um método que nos permita localizar a posição do novo vértice.

Partimos da função y = ax² + bx. Esta função também pode ser escrita como y = x (ax + b).

Figura 8

Sabemos que nos pontos em que os ramos da parábola cortam o eixo X, das abscissas, o valor de y será 0. Por isso podemos dizer que x X (ax + b) = 0.

Resolvendo esta expressão, saberemos os pontos em que a parábola corta o eixo X. Podemos facilmente notar que uma solução é x = 0, e se isolarmos o x em (ax + b) = 0, obteremos x = – (b/a).

Se a parábola corta o eixo X nos pontos 0 e – (b/a), a abscissa do vértice (X_v) será necessariamente o ponto médio do segmento que tem por extremos 0 e – (b/a).

Assim:

Para obter o valor da ordenada do vértice, basta substituir o valor de x por – (b/2a) na função. A partir daí ficamos conhecendo os valores que mais nos interessam para construir a tabela e representar graficamente a função.

6. Representação gráfica da função y = a (x h)²
Quando a função f (x) = ax² + bx + c pode ser expressa na forma f (x) = a (x h)², esta é uma translação horizontal sobre o eixo X da função y = ax².

Temos a função f (x) = x² – 4x + 4, que, por ser um quadrado perfeito, pode ser expressa como
f (x) = (x – 2)².

Vamos representar f (x) = x² e f (x) = (x – 2)² num mesmo gráfico (Figura 9, abaixo):


Figura 9

Observando a Figura 9 (ao lado), vemos que a curva
f (x) = (x – 2)² é idêntica a y = x², mas com o vértice
em V (2, 0).

Em geral, os gráficos das funções f (x) = (x – c)² são idênticos a f (x) = x², mas com o vértice em (c, 0).

Para lembrar:

Essas funções obedecem aos mesmos critérios que f (x) = ax², com a diferença de que o eixo de simetria passa pelo vértice (c, 0) e é paralelo ao eixo das ordenadas.

7. Representação gráfica da função f (x) = a (x – h)² + k
Quando a função f (x) = ax² + bx + c não pode ser indicada na forma f (x) = a (x – h)², devemos tentar expressá-la como f (x) = a (x – h)² + k.

Vamos considerar a função da Figura 10, abaixo:

f (x) = x² + 6x + 12 = x² + 6x + 9 + 3

Como:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Podemos, portanto, expressá-la desta maneira:

f (x) = (x + 3)² + 3


Figura 10

Agora, vamos representar graficamente f (x) = x²:

f (x) = (x + 3)²

f (x) = (x + 3)² + 3

De acordo com a Figura 10, o gráfico da função f (x) = x² + 6x + 12 é obtido com uma translação da parábola f (x) = x² em 3 unidades negativas nas abscissas e 3 unidades positivas nas ordenadas.

Os gráficos obtidos das funções descritas na Figura 11 (abaixo) obedecem aos mesmos critérios gerais. Tendo apenas algumas diferenças:

•	O vértice encontra-se no ponto (h, k).
•	O eixo de simetria da parábola é a reta que passa pelo vértice (h, k) e é paralela ao eixo das ordenadas.

Figura 11

8. Representação gráfica da função y = ax² + bx + c
A função quadrática, em sua forma completa, corresponde à expressão y = ax² + bx + c. Seu gráfico, em geral, é obtido deslocando-se verticalmente a representação gráfica da função y = ax² + bx. O valor de c é o que determina o deslocamento da função.

Se c for positivo, a função se deslocará c unidades para cima. Inversamente, se c for negativo, o deslocamento será de c unidades para baixo.

A partir das funções indicadas na Figura 11, acima, vamos observar suas representações gráficas (Figura 12, abaixo) e as translações que sofreram:

Figura 12

•	Considere que, para representar graficamente a função, precisamos conhecer o vértice da parábola.
•	Observe que nas duas parábolas da Figura 12, ao lado, o valor da abscissa é o mesmo: x = 2.

Isto nos permite utilizar o método de calcular as coordenadas do vértice:
x_y = – (b/2a) e o valor da ordenada. Esses cálculos podem ser obtidos substituindo-se o valor de x por – (b/2a) na função.

Por último, é bom guardar as seguintes afirmações:

•	O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola.
•	A parábola corta o eixo Y no ponto (0,c).
•	Os pontos de interseção com o eixo X são determinados resolvendo-se a equação:

ax² + bx + c = 0

Para lembrar:

Pode haver dois pontos de interseção, um, ou nenhum, dependendo do valor do discriminante da equação ser positivo, zero ou negativo, respectivamente.

Figura 13

Exemplo:

Assim, o vértice estará situado no ponto V (2,2) (Figura 13, acima, à direita).

EXERCÍCIOS

1.	Representar graficamente as seguintes funções e compará-las com o gráfico da função y = x². a) y = –x². b) y = x² + 2. c) y = x² – 4x. d) y = (x²/2) – 2x + 3.

2.	Partindo da função y = x², desenhar as funções: y = x² + 1, y = x² – 2.

3.	Representar graficamente as funções y = (x – 2)², y = (x + 1)² a partir de y = x².

4.	Representar graficamente as funções y = (x + 2)² + 1, y = (x – 1)² – 2.

Glossário

Discriminante: na solução de equações de segundo grau, é a expressão: b2 4ac .
Grau: é o maior expoente de x.
Monômio: expressão algébrica formada por uma parte numérica, denominada coeficiente, e uma parte literal. Dois monômios originam um binômio.
Translação: movimento direto em que cada ponto e sua imagem determinam retas paralelas.
Valor absoluto: também chamado de módulo de um número. É o próprio número, se este número for positivo ou zero. E é o oposto desse número, se o número for negativo. Assim: |2| = |2| = 2

Exercícios resolvidos