Circunferência
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de
um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo
denominado o centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente
encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana
que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É
também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos
de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do
conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia,
Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e
bastante utilizada nas residências das pessoas.
Algumas definições
Raio - Raio de uma
circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no
centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da
circunferência.
Arco – é uma parte da
circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de
infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da
circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos
o que chamamos de diâmetro.
O diâmetro é sempre a corda
maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas
vezes a medida do raio.
Assim,
para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir
o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica)
deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma
parte da circunferência é utilizada.
Tangente – é a reta que tem um
único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de
tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que
intercepta a circunferência em dois pontos distintos,
se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer
também que é a reta que contem uma corda.
Para
simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de
reta, ou seja, corda PQ.
Por outro
lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda
e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para
o arco, usamos PQ.
Da mesma
forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a
parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência
Quanto
maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu
comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você
andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800
metros de diâmetro.
No exemplo
abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma
tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
Círculo
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um
plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância
r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados
dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante
comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão
presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora
pense, o que faríamos para:
* riscar
no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar
um círculo no seu caderno?
* marcar o
limite das escavações de um poço no chão?
Quando
falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura
geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção
entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A
superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando
riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é
chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar
circunferências.
O compasso
possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada
no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a
grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de
traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas
do compasso.
À
distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando
uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou
no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma
corda e duas estacas.
Equação reduzida da
circunferência
Uma
circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor
do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no
ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto
qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?
Se P
pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.
Como a
distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula
da distância entre dois pontos temos:
(x - a)2 +
(y - b)2 = R
Elevando
ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de
centro (a, b) e raio R.
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação
reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a
construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na
origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:
(x - 2) ² + (y - 3)² = 100
Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as
coordenadas do centro e quanto vale o raio:
Pela expressão temos que: R = 10 e
C(2,3)
Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² =
13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa
pela origem.
Equação geral da
circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da
circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da
circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)² +(y + 3) ² = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do
raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o
processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na
equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser
iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência
cuja equação geral é
x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas
condições. Assim:
* 1º passo: agrupamos os termos
em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x² - 6x + _ + y² + 2y + _ =
6
* 2º passo: determinamos os
termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y,
somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
* 3º passo: fatoramos os
trinômios quadrados perfeitos
(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16
* 4º passo: obtida a equação
reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em
relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação (x - a) ² +
(y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n)
em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na
expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0,
então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0,
então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² < 0,
então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em
relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α
de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as
posições relativas entre s e α :
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a
uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência.
Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:
Assim:
Condições de tangência entre
reta e circunferência
Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y)
do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma
única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem
duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe
reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
Posições Relativas entre
Ponto e Circunferência
* Externo:
d > r ;
d - r > 0
* Interno:
d < r
d - r < 0
* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0
’
Posições Relativas entre
Reta e Circunferência
* Tangente:
A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os
outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo,
num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a
circunferência.
d < r
* Externo:
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os
pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
Posições Relativas entre
duas Circunferências
* Não se interceptam: (d = distância entre os Centros)
* Externamente:
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2 
* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos
de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2| 
* São Tangentes:
* Externamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os
demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de
tangência.
d = r1 + r2 
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os
demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da
tangência.
d = |r1 - r2| 
* São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum.
São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < d < r1 + r2 
* Caso particular: Concêntricas:
As duas circunferências são interiores e os centros das duas
são coincidentes.
d = 0 
Conclusão
Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta
ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de
todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r
de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
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