Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma
que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela
espécie.
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p
elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter
a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p
vezes.
Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo:
Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja
C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4
elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as
repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos
não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um
modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos
formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos
excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois
AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações
com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
---------------------------------------------------------------
Regras gerais sobre a Análise
Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito
difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras
básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra
da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas
e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a
escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas,
desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das
escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do
outro.
Regra do Produto: A
regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m
formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um
outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a
escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n
formas.
Exemplo:
Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os
pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r
contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a
segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2,
s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de
retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na
outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s
e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos
de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último
ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r
e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
---------------------------------------------------------------
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras
diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste
conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m
elementos tomados p a p. Construiremos uma tabela com os m
elementos de C.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta
operação com a mudança da cor amarela para a cor bege.
Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m
elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha
tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou
no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos.
Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os
que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase
é o (m-1)-ésimo.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a
próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro
elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser
visualizado como:
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1
elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo
elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos
tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na
segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p,
por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos
de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos
de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela
à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para
concluir que existem 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema
brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4
algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que
podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos
4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
-
-
Contato
Matérias :: Matemática