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Matérias :: Matemática |
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Autoria:
Paulo Marques |
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As
cônicas
As cônicas –
hipérbole,
parábola,
elipse
e a
circunferência,
possuem todas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção
de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme
mostrado na figura a seguir:
Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja
excentricidade é nula.
Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar equivocadamente: a
circunferência é uma elipse imperfeita! Eu, prefiro a primeira assertiva, pois é
a correta!.
Brincadeiras à parte, prossigamos!
No caso da
elipse
já sabemos que:
excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem
que:
Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c
são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da
elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade
estiver a sua excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores
de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de
c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa
circunferência.
A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
No caso da
hipérbole
, já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um
número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou
seja
a = b, teremos uma
hipérbole
equilátera,
cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na
fórmula acima.
Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:
|
Cônica |
e |
|
Circunferência |
0 |
|
Elipse |
0 < e < 1 |
|
Hipérbole |
e > 1 |
Quanto à
parábola
, podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a
excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:
Considere o seguinte problema geral:
Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que
satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado
foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante
real.
Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:
Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.
Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:
Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:
(x – f)2 + y2 = e2 .(x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2
– 2.d.x + d2)
x2 – e2.x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2
+ f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2
– e2.d2 = 0
Ou finalmente:
x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d
– f)x + f2 – e2d2 = 0
Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0
Fazendo d = - f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma
parábola
da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.
A
constante e é denominada excentricidade.
Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.
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