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Matérias :: Matemática |
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Autoria:
Paulo Marques |
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Cálculo Vetorial I
1 - O VETOR
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante
definidos:
-
comprimento (denominado módulo)
-
direção
-
sentido (de A para B)
Chama-se
vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados
equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os
segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o
mesmo sentido de AB.
Assim, a idéia de
vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática,
para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados
que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!
Sendo u um
vetor genérico, o representamos pelo símbolo:
|
Para
facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito
u . Todas as representações de letras em negrito neste arquivo,
representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado
simplesmente por u, ou seja, a mesma letra indicativa do vetor, sem o
negrito. |
Podemos
classificar os vetores em três tipos fundamentais:
Vetor livre -
aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu módulo, a sua
direção e o seu sentido.
Exemplo: o vetor u das figuras acima.
Vetor deslizante
- aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da
sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta suporte que o contém.
Os vetores deslizantes são conhecidos também como cursores.
Notação: (u, r) - vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r .
Exemplo: ver figura abaixo
Vetor ligado -
aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da sua
direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está localizado a sua origem.
Notação: (u, O) - vetor ligado ao ponto O.
Exemplo: ver figura abaixo.
Notas:
a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição.
b) os vetores
deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no estudo de
Mecânica Racional ou Mecânica Geral, disciplinas vistas nos semestres iniciais
dos cursos de Engenharia.
c) neste
trabalho, ao nos referirmos aos vetores, estaremos sempre considerando os
vetores livres
1.1 - O VETOR
OPOSTO
Dado o vetor u
, existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor
u , porém , de sentido oposto.
1.2 - O VETOR
UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de
VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.
1.3 - O VETOR
NULO
Vetor de módulo
igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
2 - A PROJEÇÃO DE
UM VETOR SOBRE UM EIXO
Veja a figura
abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r.
Teremos que o
vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de
medida algébrica igual a
ux = u . cosq . Observe que se q = 90º , teremos cosq = 0 e,
portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.
3 - A NOTAÇÃO DE
GRASSMANN PARA OS VETORES
Considere o vetor
u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final
do vetor.
Grassmann
(matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do
ponto A, através de uma
translação
de vetor u .
Assim, pode-se escrever:
B = A + u
e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A
Esta
interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos,
permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na
seqüência deste trabalho.
4 - UM VETOR NO
PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor
u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:
Pela notação de
Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u
u = P - O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas
e, por conseguinte,
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o
ponto P(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor
u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de
coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme
convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado
por:
5 - UM VETOR NO
PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS
Vimos acima que
um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo,
ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y ,
conforme figura abaixo:
O par ordenado de
versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2,
ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que
um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se
em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3,
poderíamos considerar os versores i, j e k ,
respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a
representação do vetor u, no espaço seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço
R3 .
O módulo do vetor
u = x.i + y.j + z.k será dado por:
A demonstração
desta fórmula é fácil, quando soubermos determinar o produto interno de vetores,
conforme você mesmo confirmará na seqüência deste trabalho.
6 - OPERAÇÕES COM
VETORES
6.1 - ADIÇÃO
Dados dois
vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme
indicado nas figuras abaixo.
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Regra do
triângulo
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Regra do
paralelogramo
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6. 2 - SUBTRAÇÃO
Considerando-se a
existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - v
, como sendo igual à soma u + ( -v ) .
Veja a figura
abaixo:
6.3 -
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor
u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma
direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l <
0. O módulo do vetor l .u será igual a |l |.u .
6.4 - PRODUTO
INTERNO DE VETORES
Dados dois
vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como
segue:
u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo
formado entre eles.
Da definição
acima, infere-se imediatamente que:
a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno
deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.
b) o produto
interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois
neste caso,
b = 0º e cos 0º = 1 \ u.u = u.u.1 = u2
c) se dois
vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno
deles será nulo.
d) o produto
interno de dois vetores será sempre um número real.
e) o produto
interno de vetores é também conhecido como produto escalar.
6.4.1 - CÁLCULO
DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR
Sejam os vetores
u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d
j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i
+ ad i.j + bc j.i + bd j.j
Lembrando que os
versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões
acima, teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
Daí, fazendo
as substituições, vem:
u.v
= ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Então concluímos
que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das
componentes correspondentes ou homônimas.
Unindo a
conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos
a uma importante fórmula, a saber:
Sejam os vetores:
u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:
Onde u e v
correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o
produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo
estará determinado.
Veremos um
exercício de aplicação, no final deste arquivo.
Vamos
demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de
vetores.
Seja o triângulo
retângulo da figura abaixo:
É óbvio que: w
= u + v
Quadrando
escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:
w2 = u2 + 2.u.v + v2
Dos itens (b) e
(c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2
= u2 , v2 = v2 e u.v = 0
(lembre-se que os vetores
u e v são perpendiculares).
Assim,
substituindo, vem:
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2
= u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos).
Agora, convidamos
ao visitante, a deduzir o
teorema dos cosenos,
ou seja : em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados
dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo coseno do
ângulo formado entre eles.
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