Cálculo Vetorial II

No texto a seguir,os vetores serão indicados através de letras em negrito e os seus módulos, através das mesmas letras sem o negrito.

Exemplo: u indicará o módulo do vetor u.

Considere dois vetores u e v pertencentes ao espaço R³.
Define-se o Produto Vetorial u x v como sendo um terceiro vetor w, com as seguintes características:

a) o módulo de w é w = |u x v| = u.v.senß, onde ß é o ângulo formado pelos vetores u e v.

b) a direção de w é perpendicular ao plano dos vetores u e v.

c) o sentido do vetor w = u x v é dado pela regra da mão esquerda:
Dispondo-se os dedos médio e indicador da mão esquerda, apontando no mesmo sentido dos vetores u e v, o dedo polegar apontará o sentido do vetor w.

Veja a figura a seguir:

Notas importantes:

1 – o produto vetorial é também denominado produto externo.

2 – do item (c) da definição dada, conclui-se que uxv = -(vxu), ou seja, o produto vetorial é uma operação não comutativa.

3 – se ß = 0º, ou seja, os vetores u e v são paralelos,
o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen 0º = u.v.0 = 0 e, portanto, o vetor w = uxv será o vetor nulo.

Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos.

4 – se ß = 90º, ou seja, os vetores u e v são perpendiculares, o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen90º = u.v.1 = u.v

5 – Lembrando dos vetores unitários(ou seja, de módulo igual a 1) do espaço R³, i,j e k, os quais são perpendiculares entre si dois a dois, e, baseados nas notas (3) e (4) acima, podemos escrever as seguintes igualdades relativas aos produtos vetoriais dos vetores unitários i, j e k:

i x i = 0	i x j = k
j x j = 0	j x k = i
k x k = 0	k x i = j

Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor é paralelo a si próprio e portanto, i // i, j // j e k // k)e também lembrar que os vetores i, j, k são perpendiculares entre si dois a dois.

6 – Vimos em Trigonometria que a área de um triângulo pode ser calculada pelo semi-produto das medidas de dois dos seus lados,pelo seno do ângulo que eles formam, ou seja:

A = 1/2 .a.b.sen ß, onde a e b são as medidas de dois lados e
ß é o ângulo formado entre eles, e A é área.

Nestas condições, considere o paralelogramo da figura abaixo:

Então, o triângulo limitado pelos vetores u e v que formam entre si o
ângulo ß, terá uma área dada por A = 1/2.u.v.sen ß

A área S do paralelogramo, será evidentemente igual ao dobro da área deste triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß

Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial uxv, conforme já vimos acima.

Logo, a conclusão final é que:

A área do paralelogramo construído a partir dos vetores u e v ,
é igual ao módulo do produto vetorial u x v.

Assim, S = |u x v|

Antes de resolver e propor exercícios, temos que aprender a determinar o produto vetorial de dois vetores.

Sejam os vetores
u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k
v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k

Suponha que u x v = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k

Teremos:
x.i + y.j + z.k = (a.i + b.j + c.k) x (d.i + e.j + f.k)

Efetuando as operações indicadas no segundo membro da igualdade acima, vem:
x.i + y.j + z.k = a.d.(ixi) + a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.e.(jxj) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi) + c.e.(kxj) + c.f.(kxk)

Observando pela tabela anterior que i x i = k x k = j x j = 0,
e substituindo acima, vem:

x. i + y.j + z.k =
a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi)+ c.e.(kxj).

Observando ainda que: i x j = k, k x i = j, j x k = i,
j x i = -k, k x j = -i e i x k = -j, vem, substituindo:
x . i + y.j + z.k =
a.e.k + a.f.(-j) + b.d.(-k) + b.f.i + c.d.j + c.e.(-i).

Somando os termos semelhantes e arrumando convenientemente, vem:
x.i + y.j + z.k = (b.f – c.e).i + (c.d – a.f).j + (a.e – b.d).k

Comparando ambos os membros da igualdade obtida, vem:
x = b.f - c.e
y = c.d – a.f
z = a.e – b.d

Portanto, em resumo, teremos:

Dados os vetores
u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k
v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k
O produto vetorial u x v será o vetor
w = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k , onde x, y e z são dados pelas relações acima, ou seja:
x = b.f - c.e
y = c.d – a.f
z = a.e – b.d

O resultado acima, pode ser expresso na forma de determinante, conforme abaixo:

Vamos agora resolver o seguinte problema:

Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos
A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2).

Solução:

Considere a figura a seguir:

Como já vimos no capítulo de Álgebra Vetorial I, usando a notação de Grassman para vetores, podemos escrever:

AB = B – A = (1,-1,0) – (2,1,-1) = (-1,-2,1)
AC = C – A = (-1,1,2) – (2,1,-1) = (-3,0,3)
Como já sabemos, o módulo deste vetor, nos dará a área do paralelogramo. A área do triângulo, será então, a metade da área deste paralelogramo.

Teremos:

Módulo do vetor AB x AC :

Portanto, a área do paralelogramo é igual a
2Ö6
Então, a área do triângulo será a metade, ou seja:
2Ö3
Cujo valor aproximado é 4,2.
A área do triângulo vale então aproximadamente
4,2 unidades de área ou 4,2 u.a.

Agora, resolva este:
Determine a área do triângulo de vértices
P(3,2,4), Q(1,1,1)e R(2,1,0).

Resposta: aproximadamente 2,6 u.a.