Derivada de uma Função

Derivadas I

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x₀

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função
y = f(x), quando x varia de x₀ para x₀ + D x₀ :

Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg a , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x₀, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x₀ tende a zero, e é representada por f ' (x₀) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.

Observe que quando D x₀ ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .
Ora, quando D x₀ ® 0 , já vimos que o quociente D y₀ / D x₀ representa a derivada da função y = f(x)
no ponto x₀. Mas, o quociente D y₀ / D x₀ representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x₀ ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x₀ , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então:
f '(x₀) = tgb

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x₀, coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto
x = x₀.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.

Calcule a derivada da função y = x² , no ponto x = 10.

Temos neste caso:
y = f(x) = x²f(x + D x) = (x + D x)² = x² + 2x.D x + (D x)²f(x + D x) - f(x) = x² + 2x.D x + (D x)² - x² = 2x.D x + (D x)² D y = f(x + D x) - f(x) = x² + 2x.D x + (D x)² - x² = 2x.D x + (D x)²

Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x² é igual a y ' = 2x .
Logo, a derivada da função y = x², no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretação geométrica do resultado acima?

Ora, a derivada da função y = x² , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x² , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.

Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que
b » 87º 8' 15" .

Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x² , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .

Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa
x = 1000 .
Resposta: 5.

Derivadas II

1 - Vimos na apostila (derivadas I) anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x₀ pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber
deduzi-las, quando necessário.

Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos
y ' , f ^' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.

FUNÇÃO	DERIVADA
y = k , k = constante	y ' = 0
y = k.x	y ' = k
y = x	y' = 1
y = xⁿ	y ' = n.x ^{n - 1}
y = a ^x , 1 ¹ a > 0	y ' = a ^x . ln a
y = e ^x	y ' = e ^x
y = sen(x)	y ' = cos(x)
y = cos(x)	y ' = - sen(x)
y = tg(x)	y ' = sec²(x)
y = u + v	y ' = u' + v'
y = u.v	y' = u'.v + u.v'
y = u / v , v ¹ 0	y' = (u'.v - u.v') / v²

Onde u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x.

Tenham calma, que esta tabela será devidamente ampliada, no devido tempo. Estou partindo da premissa, que a introdução a um assunto novo, tem necessariamente que ser de forma lenta e gradual. Sem pressa!

Exemplos:

a) y = 1000 Þ y ' = 0
b) y = 200x Þ y ' = 200
c) y = x⁵ Þ y ' = 5x⁴d)y = x + sen(x) Þ y ' = x ' + (senx) ' = 1 + cos(x)
e) y = x³ + x² Þ y ' = 3x² + 2x
f) y = sen(x) + cos(x) Þ y ' = cos(x) - sen(x)
g) y = 1 / x Þ y ' = (1'.x - 1. x') / x² = - 1 / x²
h) y = x.sen(x) Þ y ' = x'. sen(x) + x . (senx)' = sen(x) + x.cos(x)
i) y = x + tg(x) Þ y ' = 1 + sec²(x)

Agora determine a derivada da função y = x².tg(x).
Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]²

2 - Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x₀

Considere a figura abaixo: