Dízimas Periódicas
I – Conversão de Frações
Ordinárias em Números Decimais
Já aprendemos que para
transformarmos uma fração não decimal ( fração ordinária ) em um número
decimal basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração.
Estudaremos agora as três
maneiras como isso ocorre, e para tal transformemos as frações ordinárias em
números decimais.
1º Caso
:
Ao transformarmos a fração 
em um número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero.
Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato,
ou numa decimal exata.
2 º Caso
:
Ao transformarmos a fração 
num número decimal, encontraremos 1,666... e o resto 2,
que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num
número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo
6 que se repete indefinidamente é chamado período da dízima. A dízima 1,666...
é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o
período 6.
3º Caso :
Ao transformarmos a fração 
num número decimal, encontraremos 0,58333... e o resto 4,
que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração
se converte num número decimal periódico, ou numa
dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o
antecede é chamado de parte não periódica, não período ou ante-período. A
dízima 0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a
vírgula vem o ante-período 58 e somente após vem o período 3.
II – Notação de uma Dízima
Periódica
Uma Dízima Periódica poderá
ser representada de três formas diferentes :
III – Os Casos da Conversão
de Frações Ordinárias em Números Decimais
1º Caso
: Número Decimal Exato – Uma fração ordinária e irredutível se
transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver apenas os
fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será
dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 1
: A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já
que o seu denominador 4 só contém o fator primo 2 ( 4 = 22 ). Essa
decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2
Exemplo 2
: A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já
que o seu denominador 125 só contém o fator primo 5 ( 125 = 53 ).
Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3
Exemplo 3
: A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já
que o seu denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24
x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2
é 4
2º Caso
: Dízima Periódica Simples – Uma fração ordinária e irredutível se
transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver
apenas fatores primos diferentes dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.
Exemplo 4 :
A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica
Simples já que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3 ( 9 = 32
)
Exemplo 5 :
A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica
Simples já que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11
( 77 = 7 x 11)
Exemplo 6 :
A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica
Simples já que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13
( 117 = 32 x 13 )
3º Caso
: Dízima Periódica Composta – Uma fração ordinária e irredutível se
transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos
fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O
número de ordens, ou casas decimais, do ante-período será dado pelo maior
expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 7 :
A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica
Composta já que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator
primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período
com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 é 1.
Exemplo 8 :
A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica
Composta já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator
primo 13 ( 52 = 22 x 13 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um
ante-período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2.
Exemplo 9 :
A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica
Composta já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o
fator primo 17 ( 680 = 23 x 5 x 17 ). Essa Dízima Periódica
Composta terá um ante-período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator
2 é 3.
IV – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
Definimos Geratriz de uma dízima periódica como
sendo a fração ordinária que originou essa dízima.
Exemplo 1 : 1/3
é a geratriz da dízima periódica simples 0,333...
Exemplo 2 :
23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666...
V – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
A geratriz de uma dízima periódica simples é
a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é formado por tantos
“noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte
inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplo 1 :
Calcular a geratriz de 0,555...
Exemplo 2 :
Calcular a geratriz de 1,363636...
Exemplo 3 :
Calcular a geratriz de 2,006006006...
VI - GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
A geratriz de uma dízima periódica composta
é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido do período e diminuído do
ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos
do ante-período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à
frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplo 1 :
Calcular a geratriz de 0,03666...
Exemplo 2 :
Calcular a geratriz de 1,4(30)
Exemplo 3 :
Calcular a geratriz de 2,14272727...
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Em problemas e expressões, toda dízima periódica
deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as
operações necessárias.
Exercícios Propostos :
I – Determine a natureza de cada uma das frações
quando convertidas em números decimais. Se a resposta for uma decimal exata,
determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica composta
determine o número de casa decimais do ante-período.
|
01)  |
02)  |
03)  |
|
04)  |
05)  |
06)  |
|
07)  |
08)  |
09)  |
|
10)  |
11)  |
12)  |
13 – Determine todos os valores possíveis de
para que a fração
se converta numa decimal exata com três casas
decimais.
14 – Determine os valores naturais de m e p para a
fração 
se
converta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor
possível.
15 – Que relação deve haver entre a e b de modo
que a fração 
seja a geratriz de uma dízima periódica simples.
16 – Determine o valor mínimo da soma dos naturais
de modo que a fração
se converta numa dízima periódica composta
com 2 algarismos na parte não periódica.
II – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas
:
|
17) 0,555... |
18) 1,030303... |
|
19) 2,(36) |
20) 0,003003003... |
|
21) 1,(09) |
22) 2,027027027... |
|
23) 5,018018018... |
24) 0,0666... |
|
25) 1,04727272... |
26) 2,06818181... |
|
27) 1,32(4) |
28) 1,291666... |
|
29) 1,05(3) |
30) 3,61666... |
III – Calcule o
valor das expressões abaixo :
31)
32 – 0,(15) – ( 0,333...)2 =
Respostas dos
Exercícios
|
01) D.E. – 3
casas |
02) D.P.S. |
|
03) D.P.C. –
2 casas |
04) D.P.S. |
|
05) D.P.S. |
06) D.P.C. –
3 casas |
|
07) D.P.C. –
3 casas |
08) D.E. – 5
casas |
|
09) D.E. – 2
casas |
10) D.P.C. –
2 casas |
|
11) D.E. – n
casas se n p
D.E.
– p casas se pn |
12) D.E. – 3
casas |
|
13)
 |
|
14)
 |
|
15)
 |
|
16)
 |
|
17)
 |
18)
 |
|
19)
 |
20)
 |
|
21)
 |
22)
 |
|
23)
 |
24)
 |
|
25)
 |
26)
 |
|
27)
 |
28)
 |
|
29)
 |
30)
 |
|
31) Zero
|
32)
 |
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Aritmética – Prof. Luiz Fernando **********
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