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Matérias :: Matemática |
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Autoria:
Paulo Marques |
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Elipse
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que
a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse,
à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes
pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a ,
onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos
e a distancia F1F2 é conhecida com distancia
focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade
da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número
positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0)
os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima,
podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão
acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2
+ a2.y2 = a2.b2, onde b2
= a2 – c2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem
finalmente:
Veja a figura abaixo, que é elucidativa:
NOTAS:
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que:
a2 - b2
= c2,
onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a
, no caso extremo de termos b = a, a curva não será
uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez
que sendo
b = a
resulta c
= 0 e,
portanto e
= c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver
no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2
+ 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO:
Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da
elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400.
Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e
efetuando que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 =
0,60
Resp: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da
elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.
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