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Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=0;

Identificamos um par ordenado fora da reta, por exemplo o par (1,1);

Se este ponto satisfaz à desigualdade, colorimos a região que o contém.

Se este ponto não satisfaz à desigualdade, colorimos a região que não contém o ponto.

A região colorida representa o conjunto solução para a desigualdade.

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Sistemas de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Um processo para obter a solução deste sistema : A idéia básica é isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação. Este é o método de substituição.

Consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usamos o seguinte processo:

2 x + 3 y = 38 Primeira equação

2 x = 38 - 3 y Passamos 3y para o 2o. membro

x = 19 - (3y/2) Dividimos ambos os membros por 2

Para substituir o valor de x na segunda equação 3x-2y=18, seguiremos o seguinte:

3 x - 2 y = 18 Segunda equação

3 [19 - (3 y / 2)] - 2 y = 18 x substituído

57 - 9 y/2 - 2 y = 18 eliminamos os colchetes

114 - 9 y - 4 y = 36 multiplicamos os termos por 2

114 - 13 y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 36 = 13 y separamos variáveis e números

78 = 13 y simplificamos a equação

13 y = 78 mudamos de posição, dividindo por 6

y = 6  Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x = 19 - (3y/2), obtemos:

x = 19 - 3×6/2

x = 19 - 18/2

x = 19 - 9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema de equações:

x + y = 2

x - y = 0

Cada equação do sistema apresentado representa uma reta no plano cartesiano. Construir as duas retas no plano e verificar que a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Observação: Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Há três possibilidades para construir estas retas no plano cartesiano:

Retas concorrentes

O sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas

O sistema não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes

O sistema admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Acerca das três situações, apresentamos exemplos com as equações postas uma ao lado da outra e não uma sobre a outra como é comum encontrar nos livros.

Tipos de retas 1a. equação 2a. equação

Concorrentes x + y = 2 x - y = 0

Paralelas x + y = 2 x + y = 4

Coincidentes x + y = 2 2x + 2y = 4

Exemplos: Os mesmos problemas apresentados antes, vistos agora do ponto de vista de equações.

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22

C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000

A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?

Resolução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260

O = 140

Resposta: D = 40

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Desigualdades com 2 Equações (2 variáveis)

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c

d x + e y > f

onde a, b, c, d, e e f são valores conhecidos.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 6

5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=6 (em vermelho no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o par (2,2);

Observamos que este ponto satisfaz à primeira desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2) (cor rosa).

Traçamos a reta 5x+2y=20 (em azul no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2). (não é necessário que seja o mesmo)

Observamos que este ponto satisfaz à segunda desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

Construímos a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. O ramo da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

<fim do trabalho>

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