[Continuação]
Rieman
G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano,
foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e
fisicamente frágil.
Teve boa instrução em Berlim e depois em
Gottingen onde obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria
das funções de variáveis complexas, onde aparecem as
equações denominadas de Cauchy-Riemann, embora lá fossem
conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece
o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel
fundamental em Análise.
Nomeado professor na Universidade de Gottingen
em 1B54, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que
resultou na mais célebre conferência da história da
Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria
e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais
amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário
tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido
comum mas como uma coleção de n-uplas que são combinadas
segundo certas regras, uma das quais a de achar distancia entre
dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano é uma superfície de uma
esfera e reta é o círculo máximo sobre a esfera. De sua
sugestão de estudar espaços métricos em geral com curvatura,
tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim
para o desenvolvimento da Física.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos
Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também
a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e
geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de
Weierstrass.
Um de seus brilhantes resul;tados foi
perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do
que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos
geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre
integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de
Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler. Com seu
estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em
conseqüência de uma tuberculose.
Talles
Tales de Mileto é descrito em algumas lendas
como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou
estadista de visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua
vida.
As obras de Tales não conseguiram sobreviver
até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir
algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de
conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e
Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o
governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras
tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C.
conseguiu predizer o elipse solar que ocorreria neste ano,
assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam
para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época
deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que
tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o
primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e
recebe o título comumente de "primeiro matemático"
verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.
Acredita-se que durante sua viagem à
Babilônia estudou o resultado que chega até nós como
"Teorema de Tales" segundo o qual um angulo inscrito
num semicírculo é um ângulo reto.
A ele também se devem outros quatro teoremas
fundamentais: "um círculo é bissectado por um
diâmetro", "os ângulos da base de um triângulo
isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos
formados por duas retas que se cortam são iguais", e
"se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado
são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro.
então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a
altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das
sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é
igual à sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de
suas idéias, chamado "Escola de Jônia" e foi o
primeiro homem da História a quem se atribuem descoberta
matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para
Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como
sabemos".
Poincaré
* Trechos da nota introdutória do livro
"Deus Joga Dados ? - a Matemática do Caos" de Ian
Stewart
Hoje em dia, no final do século XX, seria quase um insulto
perguntar a alguém se sabe quem foi Albert Einstein. Na verdade,
a importância do seu trabalho não é ignorada por ninguém,
embora, compreensivelmente, a natureza e os pormenores deste o
sejam por muitos. A sua imagem, que se tornou emblemática na
sociedade moderna, é reconhecida por todos, tendo-se tornado (ao
contrário, estou convencido, do que o próprio Einstein teria
gostado) símbolo de valores como pensamento, profundidade,
transformação do mundo pela reflexão e outros proventura menos
nobres mas bem explorados pela indústria do marketing.
Einstein é o paradigma da genialidade: o homem é a imagem do
gênio.
Devo dizer que concordo sem restrições, por
razões que não vêm aqui a propósito, com a genialidade ímpar
de Einstein. A questão é que, tal como a física, também a
matemática teve o seu gênio ímpar, o seu Einstein. E no
entanto, alguém se sentiria insultado ao ser-lhe perguntado se
conhecia Henri Poicaré?
Dificilmente se encontrará, na história da
ciência dos últimos dois séculos, figura mais capaz de ombrear
com Einstein do que Henri Poincaré, o último universalista.
Poincaré não só deixou uma vastíssima e importantíssima obra
em todos os campos da matemática, e mesmo da física, do seu
tempo, como a mecânica clássica, mecânica celeste, física
matemática, teoria dos números, teoria das funções,
equações diferenciais ou análise real e complexa ( a
propósito deste paralelo, é curioso referir que Poincaré
atingiu, independentemente de Einstein e ao mesmo tempo que este,
em 1905, uma formulação da teoria da relatividade restrita),
como também fundou mesmo, com seus trabalhos, um conjunto de
novos ramos da matemática, como a topologia ou a teoria
qualitativa das equações diferenciais,e as suas idéias
seminais continuaram a influenciar decisivamente toda a
investigação matemática do século XX, estando presente, como
um espírito que assombra uma casa, em ramos da matemática cuja
fundação é posterior à sua morte, como a topologia algébrica
ou a geometria diferencial. O seu papel na história, como sendo
o primeiro,e durante muito tempo o único, a dar-se conta da
catástrofe conceitual que representava para os dogmas e
convicções da física-matemática do seu tempo o fenômeno
da Bifurcação Homoclínica, que só veio a ser redescoberto
e valorizado oitenta anos depois, é paradigmático: o seu
espírito profundo e penetrante continua a assombrar a grande
casa da ciência.
Honra lhe seja feita: Poincaré merece, de
fato, um lugar no pedestal dos grandes da ciência, ao lado de um
Galileu, de um Newton, de um Darwin ou de um Einstein.
Qual a razão profunda do desconhecimento, por
parte do grande público, da importância de Poincaré? O
problema é complicado. Creio que não reside em Poincaré, mas
sim na natureza da ciência que o apaixonou e a que se dedicou,
radicalmente diferente da das ciências naturais. Cito, de
memória, Leopold Kronecker: "A essência da matemática é
a liberdade". A meu ver, esta frase resume uma
característica fundamental da matemática, em contraposição
às ciências naturais: estas, por mais abstratas e elaboradas
que se sejam as teorias, estão confinadas a debater problemas
relativos ao mundo natural, físico, químico ou biológico, e
estão portanto sempre sujeitas ao veredicto final que a
Natureza, através da experiência, decida conferir-lhes sobre a
sua validade, enquanto que a matemática lida com um mundo
puro de idéias. O próprio objeto da matemática são as
idéias e não o mundo real. Enquanto se pode determinar se, por
exemplo, uma teoria física está errada extraindo-lhe previsões
concretas sobre o mundo real, que depois se verifica não estarem
corretas, em matemática não existe tal critério de verdade. O
único critério de verdade matemático é o da correção
lógica dos resultados. Deste ponto de vista, a liberdade do
matemático é muito maior do que a do cientista natural: um
conjunto de idéias muito belas só pode ser refutado se estiver
logicamente incorreto, e nunca por confronto com a Natureza. Se
não estiver incorreto, ganhou direitos de cidadania na sua
ciência. Por exemplo, o estatuto matemático das geometria
euclidianas e não euclidianas é idêntico, independentemente de
qual seja a geometria real do nosso universo; nenhuma é
matematicamente "mais verdadeira" do que as outras. Já
do ponto de vista físico isto não se passa...
Nesta perpectiva, a atividade matemática está
muito mais próxima da artística do que da propriamente
científica: a liberdade do matemático está mais próxima da do
artista do que da do cientista natural.
Será esta a razão pela qual é mais difícil
o grande público valorizar a atividade de uma matemático como
Poincaré do que a de um físico como Einstein? O fato de, uma
vez que a matemática lida com um mundo de idéias, e não com o
mundo real, não existirem fatos concretos e palpáveis - desvios
gravitacionais, ou sínteses de Miller-Urey, ou fósseis, ou
bombas nucleares - para apresentar às pessoas, mas apenas idéias
- distribuição de primos, ou teorema de Cauchy, ou conjectura
de Poincaré, ou teorema de Atiyah-Singer-, poderá fazer com que
o público tenha dificuldade em aperceber-se da real importância
da matemática no conjunto das ciências? É possivel, embora tal
seja demasiado complexo para poder ser aqui tratado.
Bhaskara
A
Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do
mundo, Bhaskara.
... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de
uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e
complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai
era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu
tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de
secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado
em inventários:
"...foi
então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do
governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os
quais se relacionavam às partilhas dos inventários.
Divertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos
eram complicados, mas com minha técnica de solução...
O
que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as
equações do segundo grau.
...
o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão
mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão
deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre
Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas
individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera.
Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e
achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro
capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o
título confuso. É interessante notar que o trabalho desse
matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha
filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de
suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando
macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da
montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de
seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as
equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três
que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e
um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14,
resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de
Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores
do
lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Os gregos
nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um
ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de
Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a
melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de
Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos
antigos do século
XIII
registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando
os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as
pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas
treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua
fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia
tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a
memória, levaram sua filha para o alto de uma torre,
despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela
deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que
dividiu seu corpo em duas partes...
....
Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o
dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o
momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu.
Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a
jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e,
entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então
recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um
raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava
alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso
fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem,
quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os
juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e
o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco
meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de
escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não
sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial,
não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam
terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas
contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve
nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio
onde teria ido nadar.
John
Napier
Napier viveu 67 anos, entre 1550 a 1617, na época do
Renascimento. Shakespeare, na Inglaterra, com a fama de maior
dramaturgo de todos os tempos, publicava Sonhos de uma Noite de
Verão, Hamlet, O Mercador de Veneza, Otelo e Romeu e Julieta.
Miguel de Cervantes, na Espanha, escrevia um dos livros mais
famosos da literatura mundial: Dom Quixote, no qual criticava a
cultura medieval, na figura grotesca de seu personagem que
investe contra moinhos de vento por imaginar estar lutando com
gigantes.
Luis de Camões, em Portugal, lança seu Lusíadas, que traduz
a epopéia do povo português conquistador dos mares. O livro,
com seus poemas épicos, narra as inúmeras viagens do navegante
e descobridor Vasco da Gama.
Martinho Lutero, fanático religioso alemão, defende suas
idéias sobre a tendência dos católicos: serem donos do mundo
material e espiritual. Seus pensamentos produzirão uma crise
religiosa de proporções comprometedoras para o futuro da
Igreja.
No século XVI acontecem profundas modificações políticas e
econômicas na Europa, que, impulsionada pelo capitalismo e
futuramente pela Revolução Industrial, induzira o nascimento de
uma burguesia poderosa. Surgem então condições financeiras
para o desenvolvimento da cultura européia.
Matemático escocês, John Napier, barão de Merchiston, nasceu
no castelo de Merchiston, nas proximidades. de Edimburgo, no ano
de 1550. Ao contrário de muitos homens importantes para a
ciência, Napier viveu cercado de luxo: farta comida, boas
roupas, excelentes professores, carruagens, enfim, tudo o que o
dinheiro pode comprar. Seu tio materno, Adam Bothwere - primeiro
bispo de Orkney, amigo do rei Jaime VI-, e seu pai possuíam
grande influência política e financeira na Escócia daqueles
dias. A família Napier detinha a cobiçada posição de estar
entre as vinte maiores fortunas da Europa.
Desde pequeno, Napier mostrou-se diferente dos demais jovens da
sua classe social. Em vez de dedicar-se à caça e à guerra,
preferia as atividades intelectuais. Revelou-se brilhante
estudioso, péssimo caçador e desajeitado guerreiro. Dotado de
temperamento irascível, em uma tarde de 1569 procurou o seu
vizinho, lorde Kalliran, para reclamar que seus pombos estavam
invadindo o castelo de Merchiston e quebrando o silencio
sepulcral de que precisava para estudar. Como Kalliran não
tomasse nenhuma providência, não teve dúvidas: envenenou todos
os pombos espalhando pelo castelo grãos de milho recheados com
cianureto.
"...todos que me conhecem sabem
que detesto barulho. O silêncio é
o melhor aliado que um homem
pode ter para conhecer a natureza e
a si próprio. Detesto pombos..."
Ate os doze anos Napier teve aulas particulares em seu castelo,
com importante professores escoceses, especialmente contratados
por seu pai. Aos treze anos, ingressou na Universidade de St.
Andrews, destacando-se como um dos melhores alunos. Por sua
grande capacidade intelectual, o bispo de Orkney sugeriu à
família de Napier que o mandasse à França, onde poderia ter
acesso a mestres que então revolucionavam a Matemática e a
Filosofia. Assim Napier foi para a França, onde só ficaria
durante um ano, pois sentia falta da família e de Merchiston.
Ao regressar ao seu castelo, Napier trouxe consigo cinco
professores de Matemática para ensiná-lo. Além da Matemática,
passou a interessar-se por Teologia; prova disto é o livro que
publicou em 1593 Descoberta evidente de toda Revelaçã0 de
São João, onde critica radicalmente a Igreja, fazendo suas
próprias interpretações das escrituras bíblicas:
"Deve-se interpretar a Bíblia de
um modo mais cientifico e menos
fanático".
Os assuntos tratados no livro são fúteis, sem nenhum
conteúdo filosófico, mas nota-se que Napier assimilara a
maneira grega de raciocinar. É interessante verificar que este
seu livro, no qual afirma ser o papa o anticristo, teve vinte
edições consecutivas em sua época, ao contrário de Miriftci
Logarithmorum Canonís Discriptio (Uma Maravilhosa Descrição
das Leis da Evolução), obra de arte em que cria os logaritmos e
que teve apenas duas edições: 1614 e 1619.
"... ultimamente (1581) tenho dedicado o meu tempo a
interpretação de uma outra forma de se fazer Matemática.
Estudo também, a pedido do rei, máquinas de
guerra..."
Napier ficou conhecido em toda a Escócia, no ano de 1585, quando
inventou várias máquinas destinadas à guerra. Seus engenhos
militares eram capazes de arremessar bolas de ferro a metros de
distância, com uma precisão muito boa para a tecnologia da
época. Napier iria arrepender-se por tais estudos e
construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o
poder da destruição.
Em 1590 descobriu os logaritmos e tornou-se famoso
internacionalmente, passando a ser considerado um grande
matemático e, principalmente, eficaz colaborador na resolução
dos complicados problemas que apareciam na Astronomia. Esta
descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções
matemáticas criadas pelo homem, antecipando os computadores na
solução de contas indigestas. Os logaritmo eram não só um
artifício que simplificava de maneira considerável a
computação aritmética, mas também um incremento ao
princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles,
sentiu-se necessidade de criar nova estrutura filosófica para
comportar e interpretar tal instrumento de cálculo.
A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava
uma relação de correspondência entre as progressões
aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito
em latim:
Logarithmorum 2 basis 2 aequales 1.
Logarithmorum 4 basis 2 aequales 2.
Logarithmorum 8 basís 2 aequales 3.
E em português:
A evolução de 2 na base 2 é igual a 1.
A evolução de 4 na base 2 é igual a 2.
A evolução de 8 na base 2 é igual a 3.
A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao
astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de
1621, 1622 e 1624, escreveu respectivamente:
Logarithmorum 8basis 2 aequales 3
Logarithm 8 b2 = 3
Log2 8 = 3
Bonaventura
Cavalieri, matemático italiano, foi o segundo a utilizar-se
dessa notação simplificada no seu Directorium Generalis
Uranometricum (Dados Gerais Medidos), escrito em 1632.
A descoberta de Napier seria de extrema importância para o
Cálculo Diferencial, que surgiria tempos depois. Após a
formalização da técnica, passou a trabalhar na construção de
tábuas logarítmicas, que seriam publicadas posteriormente.
Mesmo antes de sua publicação, as tabelas despertariam
grande curiosidade, principalmente em astrônomos como Tycho
Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito
importante, por minimizar o tempo gasto na resolução do
cálculos das órbitas dos planetas.
O barão de Merchiston teve uma preocupação grande com o ensino
da Aritmética; chegou mesmo a escrever, em 1617 um livro sobre
educação matemática - Rabdologia - Nemerationis per Vírgulas
Livri Duo (Dois Livros sobre as Operações dos Números com a
Ajuda de Vírgulas). Neste introduziu, entre outras coisas, um
processo muito criativo de agrupar números
Estrutura - a
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 =
8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888
987654.9 + 2 =
8888888
9876543.9 + 1
= 8888888
98765432.9 + 0
= 888888888
Estrutura b
12345679.09 = 111111111
12345679.18 = 222222222
12345679.27 = 333333333
12345679.36 = 444444444
12345679.45 = 555555555
12345679.54 = 666666666
12345679.63 = 777777777
12345679.72 = 888888888
12345679.81 = 999999999
O ponto máximo do seu Rabdologia, porém, é o processo para
multiplicar dois números, mundialmente conhecido como Método
das Tiras de Napier.
".... chamo de Tira ao processo que inventei para
multiplicar dois números. Esse trabalho resultou da dificuldade
que verifico em fazermos contas com os algoritmos modernos
(1617). Todos são pobres e nada práticos De certo modo, as
escolas e seus professores devém se preocupar em não confundir
o pensamento dos seus alunos. Pois bem. se continuarem a ensinar
esses processos de multiplicação e não a Tira, sabe-se
que..."
".... descobri esse novo método de multiplicar dois
números enquanto brincava com seqüências. Escrevia diversos
números em fitas de papel e as deslocava para cima e para baixo:
procurava uma lógica. Ficava horas e mesmo dias brincando...,'
Napier morreu a 4
de abril de 1617 em seu castelo de Merchiston, aos 67 anos
vítima de um ataque cardíaco.
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