LÓGICA

Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada. A validade lógica é a relação entre as premissas e a conclusão.  

O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística.  

Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade.  

Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa.  

A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963.  

Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira.  

Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.  

No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica.  

No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas.  

A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente.  

Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz. 

Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.

HISTÓRIA 

As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética. 

Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides. 

Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras.  

No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole. 

Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes. 

Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos.  

O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade.  

No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações.  

Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo. 

Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.  

O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.