História da Matemática

 

Dentre a grande quantidade de megálitos ( = grandes monumentos de pedra ) espalhados pela Europa e Norte da África, o mais famoso deles é o de Stonehenge.

Sobre o mesmo já foram escritos mais de mil livros.
Isso não é por acaso. A maioria dos historiadores da Antigüidade diriam que este monumento , localizado na planície de Alisbury, na Inglaterra, é uma das oito maravilhas do mundo. Embora esteja hoje parcialmente destruído, ele ainda está lá prestando seu testemunho.

Acredita-se que Stonehenge foi construído em três etapas, entre 1900 AC e 1600 AC. Para ter uma idéia mais clara de seu plano arquitetônico.
A maior parte dos historiadores que estudaram SH afirma que o mesmo era usado como uma calculadora de pedra, um verdadeiro computador megalítico com o objetivo de prever o nascimento do Sol e da Lua no solstício e no equinócio. Contudo, existem historiadores que não aceitam os argumentos e dados associados e apresentam outras explicações para a construção desse monumento.

Um dos livros mais interessantes escritos sobre Stonehenge é o de Gerald Hawkins : Stonehenge Decoded ( 1965 ). Esse historiador, usando um computador, procurou provar que SH era um observatório usado para prever eventos astronômicos de importância religiosa.

Outra importante tentativa de decodificar SH foi feita por Alexander Thom, em vários artigos e vários livros, entre os quais: Megalithic Lunar Observatories e Megalithic Sites in Britain . Ele também adota o uso religioso do monumento, mas vai além de Hawkins ao procurar mostrar que a construção do mesmo envolveu o traçado de figuras geométricas e medições bastante elaboradas. Thom não resumiu-se a estudar SH : em seus escritos ele descreve e interpreta vários outros megálitos mais antigos e matematicamente bem mais interessantes que SH, pois que tem formas elípticas e ovóides e baseiam-se no conhecimento de trincas pitagóricas.

Recentemente, pesquisadores ingleses anunciaram a descoberta do maior templo da Idade da Pedra na Europa, em Stanton Drew . Segundo Geoffrey Wainwright, chefe do grupo de arqueólogos que fizeram a descoberta, "Existem pelo menos 3.000 megálitos circulares na Inglaterra, mas nenhum é tão grande ou tão antigo quanto este".
Com efeito, o mesmo tem forma de círculo e suas fundações têm 95 metros de diâmetro. É seis vezes maior que Stonehenge.
A partir das fundações, calcula-se que o templo de Stanton Drew tinha 10 metros de altura e algumas centenas de colunas de madeira, cada uma de 1 metro de diâmetro . As entradas principais estão voltadas para o ponto do horizonte onde o sol nasce em dias de verão.
Quanto a antigüidade, estima-se ter sido erguido há cerca de 5.000 anos.

Lógica Matemática

Segundo alguns livros, a lógica desenvolveu-se no século XIX. Mas isto não é bem verdade. Todos nós usamos a lógica no dia a dia, às vezes sem nos darmos conta disso. Ex:
Seu pai lhe diz: se você tirar 10 em Física e Matemática, lhe darei um presente. Você sabe que não basta tirar 10 apenas em Física ou apenas em Matemática. Para ganhar o presente, é necessário tirar 10 nas duas disciplinas. Se por outro lado ele dissesse: se você tirar 10 em Física ou Matemática, lhe darei um presente; aí bastaria tirar 10 em uma das matérias.

Esse foi um exemplo simples de um uso da lógica. Muitos outros poderiam ser listados.

O que os matemáticos fizeram foi dar um aspecto matemático à lógica, além de aprimorá-la. Mas a idéia fundamental é antiga. Agora vamos à prática.

Na lógica vamos estudar sentenças declarativas (ou proposições). Essas proposições devem satisfazer a dois princípios fundamentais:

1. Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa;

2. Uma alternativa não pode ser verdadeira e falsa; é lógico

Assim sendo, uma proposição pode ter valor lógico falso (F ou 0) ou verdadeiro (V ou 1)

As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, ...

Vejamos agora alguns símbolos usados na Lógica Matemática:

Vejamos alguns exemplos de proposições com valores lógicos definidos.

p: "2+3=6" (F)
q: "x+3=y®2x=2y-6" (V)
r: "2²=4 Ù 1+1=3" (F)
s: "2²=4 Ú 1+1=3" (V)
t: "x²³0 " X ÎR(reais)" (V)

Operadores Lógicos

Através dos operadores lógicos Ù(conjunção) , Ú(disjunção) , ®(condicional) e «(bi-condicional), podemos combinar as proposições lógicas, formando as proposições compostas pÙq, pÚq, p®q, p«q. Observe que nos

exemplos acima houve várias proposições compostas.

Se eu souber o valor lógico de cada uma das proposições p e q, tenho como saber todas as proposições compostas a respeito de p e q. Estas relações estão expressas na tabela abaixo. Chama-se Tabela Verdade. Aí vai a tabela:

Note que podem surgir algumas proposições estranhas a partir da tabela verdade, usando-se os operadores ® e «. Ex.:

"2 é menor que 3 se e somente se x < x+1." (V)
"Se 2=3 então a Terra é um planeta." (V)

O que acontece é que esses operadores foram pensados de forma que a primeira proposição fornecesse base para o raciocínio da segunda. Porém, podemos estabelecer p e q como duas proposições sem nenhuma relação.

Tautologia

É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Contradição

É uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

 A História de Cada Um 

ALGARISMOS

No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.

Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.

Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.
al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema.
Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo ficaram conhecendo o Sistema Decimal.

O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos. Observe a semelhança entre algarismo e al-Khowarizmi.

GEOMETRIA

Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria.

Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.

Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.

Mas essas desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro a propor um método para um estudo lógico da matemática.

GRAU

Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.

Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo
vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.

Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

METRO

A palavra metro tem origem no grego métron, que significa "o que mede".

O sistema métrico surgiu por volta do ano de 1790. Antes disso, cada povo usava um sistema de unidades diferentes, o que, naturalmente, causava a maior confusão. Por exemplo: o mesmo comprimento era medido em um lugar usando-se jardas e em outro com o uso de palmos. O resultado disso tornava praticamente impossível a comunicação entre os povos.

Para solucionar esse problema, reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado.
Essa comissão decidiu que a unidade de medida de comprimento se chamaria metro, e que corresponderia a décima milionésima parte da distância do equador terrestre ao polo norte, medida ao longo de um meridiano.

Mas a medida da distância do equador ao polo não era nada prática, tanto que ao efetuarem os cálculos os matemáticos acabaram cometendo um erro. Então em 1875 uma comissão internacional de cientistas foi convidada pelo governo francês para que reconsiderassem a unidade do Sistema Métrico, e dessa vez foi construída uma barra de uma liga de platina com irídio, com duas marcas, cuja distância define o comprimento do metro, e para evitar a influência da temperatura, esta barra é mantida a zero grau centígrado, num museu na Suíça.

Mas os cientistas não pararam por aí, no decorrer do tempo foram sendo propostas novas definições para o metro. A última, e que passou a vigorar em 1983, é baseada na velocidade com que a luz se propaga no vácuo.

Resumidamente, pode-se dizer que um metro corresponde a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.

NÚMERO NEGATIVO

Os matemáticos chineses da antigüidade, tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.

Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..

Depois de várias tentativas frustadas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.

Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).

O ZERO

Como surgiu o zero? Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.

O ábaco usado inicialmente pelos hindus, consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo acima temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.

O Sulco vazio do ábaco, indica que não existe nenhuma dezena. Mas na horas de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.

E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.

Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.