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Matrizes

O uso de tabelas no cotidiano é essencial. Elas aparecem a todo momento, sem o uso de tabelas, ficar-se-ía restrito a um número menor de informações. Na Matemática, o estudo das tabelas recebe um nome especial: é o estudo das matrizes.

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Uma matriz mXn é uma tabela composta por m linhas e n colunas que contém mn elementos.

Representação de uma matriz

Uma matriz é representada por letras maiúsculas do alfabeto latino acompanhadas de sua ordem, ou seja, quantidade de linhas e colunas que possuí.

Exemplos

• A3×2 — Matriz representada pela letra A que possui 3 linhas e 2 colunas.
• B4×6 — Matriz representada pela letra B que possui 4 linhas e 6 colunas.

Cada elemento de uma matriz é representado pela mesma letra utilizada na representação da matriz, porém em letra minúscula acompanhada de seu índice, que é indicado pela posição que ocupa na matriz. Primeiro, menciona-se a linha e, posteriormente, a coluna.

Exemplos:

• a31 — Elemento da matriz A que está localizado na terceira linha e na primeira coluna.
• b15 — Elemento da matriz B que está localizado na primeira linha e na quinta coluna.

De modo geral, representa-se o elemento de uma matriz como aij, localizado na í-ésima linha e na j-ésima coluna.

Uma matriz A4×5 ainda pode ser representada da seguinte forma:

f6

Genericamente, a matriz A é representada por A = (aij)m×n, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i, j ∈ N, ou ainda:

f9

Matrizes especiais

Matriz nula

Uma matriz com todos os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula.

Exemplos:

A=f10é uma matriz nula de ordem 2×5 e pode ser indicada por A2×5.

B= f12é uma matriz nula de ordem 4×3 e pode ser indicada por B4×3 .

Matriz linha

A matriz que possui apenas uma linha é chamada matriz linha.

Exemplos:

C = [ 1  5  8  -2 ] é uma matriz linha de ordem 1×4.
D = [-3  2] é uma matriz linha de ordem 1×2.

Matriz coluna

Já a matriz que possui apenas uma coluna é chamada matriz coluna.

Exemplos:

A = f14é uma matriz coluna de ordem 3×1.

R = f16é uma matriz coluna de ordem 5×1.

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando possui a mesma quantidade de linhas e colunas.

Exemplos:

f18é uma matriz quadrada 2×2, ou, ainda, matriz de ordem 2. Dessa forma, podemos representá-la como A2.

f20é uma matriz quadrada 4×4, ou, ainda, matriz de ordem 4.

Também pode ser representada por B4.

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Em toda matriz quadrada, os elementos cuja posição da linha e da coluna forem iguais, ou seja, i = j, formam a chamada diagonal principal. A outra diagonal, na qual os elementos satisfazem a condição i + j = n + 1, é chamada diagonal secundária.

Na matriz A3 abaixo, indicamos as diagonais principal (ou primária) e secundária.

f24

Matriz identidade

A matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são unitários, ou seja, iguais a 1, e os demais são nulos, ou seja, iguais a zero, recebe o nome de matriz identidade. Sua representação é sempre dada por In, sendo n a ordem da matriz.

Exemplos:

f27é uma matriz identidade de ordem 3 e pode ser representada por I3.

f30é uma matriz identidade de ordem 4 e pode ser representada por I4.

Matriz transposta

A partir de uma matriz A, é possível obter outra matriz, invertendo, ordenadamente, as linhas pelas colunas. A matriz resultante é chamada matriz transposta.

A partir de uma matriz A = (aij)m×n, pode-se definir a matriz transposta de A como sendo a matriz AT = (atij)nXm, sendo atij = aji, ou seja, as linhas da matriz Asão, ordenadamente, iguais às colunas da matriz A e as colunas da matriz Asão, ordenadamente, iguais às linhas da matriz A.

Exemplos:

f45

f47

Igualdade entre matrizes

Duas matrizes A e B serão iguais se seus elementos de mesma posição forem iguais, zesde que as duas matrizes tenham a mesma ordem. Uma igualdade entre matrizes é apresentada como A = B.

Exemplos:

a) Dadas as matrizes f50 , para quais valores de a, b, x e y essas matrizes serão iguais?

Note que os elementos de mesmo índice de ambas as matrizes deverão ser iguais, então:

f77

 

 

 

 

b) Dadas as matrizes f66para quais valores de a, b, c, d, x, y, z e k essas matrizes são iguais?

f88

Por: Osvaldo Shimenes Santos

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