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Operações com Matrizes

Aprenda a operar com matrizes, como fazer soma, subtração, multiplicação e matriz inversa.

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Adição de matrizes

A adição de matrizes é definida apenas para matrizes de mesma ordem, Assim, se A = (aij)m×n e B = (bij)m×n , diz-se que a soma de A + B é dada pela matriz C = (cij)m×n, sendo cij = aij  + bij para todo i compreendido no intervalo 1 ≤ i ≤ m e para todo j compreendido no intervalo 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo:

Sejam as matrizes A e B:

6

Para calcular a matriz C = A + B, basta somar seus elementos correspondentes

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Matriz oposta

A matriz que ao ser somada a uma matriz A de ordem m X n resulta em uma matriz nula de mesma ordem é chamada matriz oposta (indicada por -A).

Exemplo:

8

Comprova-se isso calculando: 9

Propriedades da adição

Considerando as matrizes A, B, C e O (matriz nula), ambas de mesma ordem, valem:

  • A + B = B + A (comutativa)
  • (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
  • A + 0 = 0 + A = A (existência do elemento neutro)
  • A + (-A) = (-A) + A = 0 (existência do elemento oposto)
  • A + C = B + C ⇔ A = B (cancelamento)

Subtração de matrizes

A subtração entre duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem, é obtida a partir da soma da matriz A com a oposta de B, ou seja, A – B = A + (-B).

Exemplo:

Sejam as matrizes A e B:

1

Para obter a matriz C = A – B, realiza-se os seguintes cálculos:

C = A – B = A + (-B) =

2então

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Multiplicação de um número real por uma matriz

Seja a matriz 4e k um número real, diz-se que k • A é uma matriz do tipo m X n, obtida a partir do produto entre k e todos os elementos da matriz A.

Exemplo:  

Sendo A = 9então

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Multiplicação de matrizes

O Campeonato Brasileiro de Futebol de 2007 foi emocionante, com muitas alegrias e muitas tristezas, mas, como dizem algumas personalidades do meio esportivo, o importante é competir.

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Um recurso muito utilizado para organizar a classificação dos times de qualquer torneio é uma tabela.

Ela pode conter informações como o número de vitórias, de empates e de derrotas, gols marcados, gols sofridos, mas a principal delas é a pontuação que cada time tem, já que é a tabela que dá a classificação geral.

No entanto, sabendo-se o número de vitórias, de empates e de derrotas, será possível obter-se a quantidade de pontos de cada time.
Ao lado, a tabela final do Campeonato Brasileiro de 2007, mostra os cinco primeiros colocados. Ela apresenta a quantidade de pontos com que cada um dos times terminou o campeonato.

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Como para cada vitória o time marca três pontos, para cada empate, um ponto e para cada derrota não faz pontos, é possível escrever:

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Também é possível fazer esses cálculos usando matrizes:

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A matriz T representa as quantidades de vitórias, empates e derrotas dos cinco primeiros colocados. Cada linha representa um time diferente: São Paulo, Santos, Flamengo, Fluminense e Cruzeiro, respectivamente. Cada coluna representa a quantidade de vitórias, den_otas e empates, respectivamente. Já a matriz P representa a quantidade de pontos adquiridos caso o time ganhe, empate ou perca, respectivamente, em cada linha.

A multiplicação das matrizes T e P resulta na matriz G (pontos ganhos):

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Notar que os elementos de uma linha de T são multiplicados, ordenadamente, pelos correspondentes elementos da coluna de P e, depois, os produtos são somados:

13

 

 

 

 

Dadas as matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)n×p, o produto de A por B é a matriz C = (cij)m×p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo correspondente elemento da coluna j de B.

Observação:

Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só poderá ser obtido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá como ordem o número de linhas de A e o número de colunas de B.

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Propriedades da multiplicação

Considerando as matrizes A, B e C, valem:

  • (A • B) • C = A • (B • C) (associativa)
  • (A + B) • C = A • C + B • C (distributiva)

Matriz inversa

Uma matriz quadrada 8 de ordem n é a inversa da matriz quadrada A, também de ordem n, se satisfizer a seguinte condição:

22 Representa-se a matriz inversa de A como sendo 21

Exemplo:

Dada a matriz A = 23 , encontrar sua matriz inversa.

Se,24 então:

25

Pela igualdade de matrizes, podem-se construir os seguintes sistemas:

27

Portanto, conclui-se que 28

Por: Osvaldo Shimenes Santos

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