Máximo Divisor Comum – MDC

O máximo divisor comum de vários números é o maior de seus divisores comuns. Ele é representado pela sigla mdc (a, b, c,…) e é obtido decompondo os números em fatores primos e multiplicando tais fatores comuns elevados ao menor de seus expoentes.

Conceito de máximo divisor comum

Chama-se máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números o maior de seus divisores comuns.

Exemplos:

Calcular o máximo divisor comum de 48 e 32.

Encontram-se os divisores de 48 e 32 decompondo-os em fatores primos:

Os divisores comuns a ambos os números são: 1,2, 4, 8, 16.

O maior de todos eles é 16 = 2⁴

Ele é denominado máximo divisor comum de 48 e 32 e representado da seguinte forma: mdc (48, 32) = 16.

Calcular o máximo divisor comum de 12 e 40.

• divisores de 12: {1,2, 3, 4, 6, 12}
• divisores de 40: {1,2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

Divisores comuns a 12 e 40: 1,2, 4.

O maior divisor comum é 4. Portanto, mdc (12, 40) = 4.

Se o único divisor comum de dois ou mais números for a unidade, esses números serão primos entre si.

Forma prática de calcular o mdc

Para calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números:

1. Decompor ó número em fatores primos.
2. Expressar os números como produto de fatores primos.
3. Escolher os fatores primos comuns e os fatores comuns elevados ao menor expoente.
4. O produto desses fatores é o mdc dos números.

Exemplos:

• Calcular o máximo divisor comum de 40 e 100.

1. Decompor em fatores primos 40 e 100.

2. Fatores comuns: 2 e 5.
   Fatores comuns elevados aos menores expoentes: 2² e 5.

3. mdc (40, 100) = 2² 5 = 20.

• Calcular o máximo divisor comum de 24, 32 e 36.

1. Decompor em fatores.
2. Fatores comuns: 2.
   Fatores comuns elevados ao menor expoente: 2².

3. mdc (24, 32, 36) = 2² = 4.

Outra forma de calcular

Outra forma de determinar o mdc dos números é o método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides). Obtém-se o mdc (24,18) usando esse método:

1. Dividir 24 por 18. O quociente é 1 e o resto é 6.
   
2. O resto 6 passa a ser o divisor do 18 (antigo divisor).
   
3. Ao dividir 18 por 6, obtêm-se quociente 3 e resto zero.
4. Quando se chega ao resto zero, o processo termina.

O último resto anterior a zero, no caso o 6, é o mdc de 24 e 18.

mdc (24, 18) = 6.

Veja também:

• MMC e MDC
• Como calcular o MMC – Mínimo Múltiplo Comum
• Números Primos e Compostos