Números naturais
O conjunto dos
números naturais é representado pela letra maiúscula N
e estes números são construídos com os algarismos: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos
como algarismos indo-arábicos. No século VII, os
árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema
numérico.
Embora o zero não seja um número
natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos
de contagens naturais, iremos considerá-lo como um
número natural uma vez que ele tem as mesmas
propriedades algébricas que os números naturais. Na
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do
sistema posicional de numeração para suprir a
deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos
links: Notas históricas sobre o zero ou Notação
Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o
belíssimo livro: "História Universal dos
Algarismos, Tomos I e II, Edit. Nova Fronteira, 1998 e
1999", de Georges Ifrah.
Na seqüência
abaixo consideraremos como naturais tendo início com o
número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos
o conjunto dos números naturais com a letra N. As
reticências (três pontos) indicam que este conjunto
não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o
zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será
representado por N*, isto é:
N* = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
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A
construção dos Números Naturais
Todo número
natural dado tem um sucessor (número que vem depois do
número dado), considerando também o zero.
Exemplos:
O sucessor de
m é m + 1 se, m é um número natural.
O sucessor de
0 é 1.
O sucessor de
1 é 2.
O sucessor de
19 é 20.
Se um número
natural é sucessor de outro, então os dois números
juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
1 e 2 são
números consecutivos
5 e 6 são
números consecutivos
50 e 51 são
números consecutivos
Vários
números formam uma coleção de números naturais
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o
terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do
terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
1, 2, 3, 4, 5,
6, 7 e 8 são números consecutivos
5, 6 e 7 são
números consecutivos
50, 51, 52 e
53 são números consecutivos
Todo número
natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número
que vem antes do número dado).
Exemplos:
O antecessor
de m é m-1 se, m é um número natural finito diferente
de zero.
O antecessor
de 2 é 1.
O antecessor
de 56 é 55.
O antecessor
de 10 é 9.
O conjunto
abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais
pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto
matemático denominado função, algumas vezes
utilizaremos a denominação seqüência dos números
naturais pares para representar o conjunto dos números
naturais pares:
P = { 0, 2, 4,
6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto
abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais
ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos
números ímpares.
I = { 1, 3, 5,
7, 9, 11, 13, ...}
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Igualdade e
Desigualdades
Diremos que um
conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o
conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B
está contido no conjunto A. Quando a condição acima
for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B)
e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é
diferente de B). Na definição de igualdade de
conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos
elementos no conjunto.
Exemplo com
igualdade:
Notamos que os
elementos do conjunto A são os mesmos elementos do
conjunto B. Neste caso, A=B.
Vamos
considerar agora uma situação em que os elementos dos
conjuntos A e B serão distintos. Neste caso, dizemos que
A é diferente de B.
Sejam A =
{a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Estes conjuntos são
diferentes pois nem todos os elementos do conjunto A
estão em B e nem todos os elementos do conjunto B estão
em A.
Não podemos
afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto.
Exercício:
Coloque um dos três sinais: <, > ou = em cada
linha da tabela abaixo.
159
170
852
321
587
587
Exercício:
Representar cada conjunto analiticamente, isto é,
através de alguma propriedade e depois por extensão,
apresentando os elementos:
N : Conjunto
dos Números Naturais
P : Conjunto
dos Números Naturais Pares
I : Conjunto
dos Números Naturais Ímpares
E : Conjunto
dos Números Naturais menores que 16
L : Conjunto
dos Números Naturais maiores que 11
R : Conjunto
dos Números Naturais maiores ou iguais a 28
C : Conjunto
dos Números Naturais que estão entre 6 e 10
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Operações
com Números Naturais
Na seqüência,
estudaremos as duas principais operações possíveis no
conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a
Matemática é construída a partir dessas duas
operações: adição e multiplicação.
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A adição
de números naturais
A primeira
operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade
reunir em um só número, todas as unidades de dois ou
mais números. Antes de surgir os algarismos
indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por
meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou
por meio de ábacos.
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Propriedades
da Adição
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Fechamento
A
adição é fechada no conjunto dos números naturais,
pois a soma de dois números naturais é ainda um número
natural. O fato que a operação de adição é fechada
em N é conhecido na literatura do assunto como: A
adição é uma lei de composição interna no conjunto
N.
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Associativa
A adição é
associativa no conjunto dos números naturais, pois na
adição de três ou mais parcelas de números naturais
quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer
modos, ou seja, com três números naturais, somando o
primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um
terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do
primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
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Elemento
neutro
Na adição de
números naturais, existe o elemento neutro que é o
zero, pois tomando um número natural qualquer e somando
com o elemento neutro (zero), o resultado será o
próprio número natural.
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Comutativa
A adição é
comutativa no conjunto dos números naturais, pois a
ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a
primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo
resultado que se somando a segunda parcela com a primeira
parcela.
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Curiosidade:
Tabela de adição
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14
5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
Para somar
dois números com a tabela em anexo, basta fixar um
número na primeira linha e um segundo número na
primeira coluna e na interseção da linha com a coluna
fixadas, obtemos a soma desses números.
Como exemplo,
na tabela ao lado, se tomamos o número 7 que está na
linha horizontal e o número 6 que está na linha
vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento das
duas linhas.
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Multiplicação
de Números Naturais
É a
operação que tem por finalidade adicionar o primeiro
número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes
quantas são as unidades do segundo número denominado
multiplicador.
Exemplo: 4
vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9
+ 9 + 9 = 36
O resultado da
multiplicação é denominado produto e os números dados
que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o
sinal x ou · ou × para representar a multiplicação.
Propriedades
da multiplicação
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Fechamento
A
multiplicação é fechada no conjunto N dos números
naturais, pois realizando o produto de dois ou mais
númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a
operação de multiplicação é fechada em N é
conhecido na literatura do assunto como: A
multiplicação é uma lei de composição interna no
conjunto N.
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Associativa
Na
multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de
modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator
com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro
número natural, teremos o mesmo resultado que
multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo
segundo.
(m.n).p =
m.(n.p)
(3.4).5 =
3.(4.5) = 60
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Elemento
Neutro
No conjunto
dos números naturais existe um elemento neutro para a
multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número
natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
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Comutativa
Na
multiplicação de dois números naturais quaisquer, a
ordem dos fatores não altera o produto, ou seja,
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento
teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo
elemento pelo primeiro elemento.
m.n
= n.m
3.4 = 4.3 = 12
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Propriedade
Distributiva
Multiplicando
um número natural pela soma de dois números naturais,
é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m . ( p + q )
= m . p + m . q
6 x ( 5 + 3 )
= 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
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Divisão de
Números Naturais
Dados dois
números naturais, às vezes necessitamos saber quantas
vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado dividendo e o outro
número que é menor é o divisor. O resultado da
divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o
divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto
dos números naturais, a divisão não é fechada, pois
nem sempre é possível dividir um número natural por
outro número natural e na ocorrência disto a divisão
não é exata.
Relações
essenciais numa divisão de números naturais
Numa divisão
de números naturais, o divisor deve ser menor do que o
dividendo.
35 : 7 = 5
Numa divisão
de números naturais, o dividendo é o produto do divisor
pelo quociente.
35 = 5 x 7
A divisão de
um número natural n por zero não tem sentido pois, se
admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos
escrever:
n ÷ 0 = q
e isto
significa que:
n = 0 x q = 0
o que não é
correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou
ainda é dita impossível.
Exercício:
Substituindo X por 6 e Y por 9, qual o valor da soma do
dobro de X pelo triplo de Y.
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Potenciação
de Números Naturais
Dados dois
números naturais x e y, a expressão xy, representa um
produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:
xy = x . x . x
. x ... x . x . x
y vezes
O número que
se repete como fator denomina-se base que neste caso é
x. O número de vezes que a base se repete é denominado
expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se
potência. Esta operação não passa de uma
multiplicação com fatores iguais.
Exemplos:
23 = 2 . 2 . 2
= 8
43 = 4 . 4 . 4
= 64
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Propriedades
da Potenciação
Uma potência
cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n,
denotado por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
1n = 1 . 1 ...
1 (n vezes) = 1
13 = 1 . 1 . 1
= 1
17 = 1 . 1 . 1
. 1 . 1 . 1 . 1 = 1
Se n é um
número natural diferente de zero, então a potência no
será sempre igual a 1.
Exemplos:
no = 1
5o = 1
49o = 1
A potência
zero elevado a zero, denotada por 0o, é uma expressão
carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O
visitante que necessitar aprofundamento neste assunto,
deve visitar o nosso link Quanto vale zero elevado a
zero?
Qualquer que
seja a potência em que a base é o número natural n e o
expoente é igual a 1, denotado por n1 é igual ao
próprio n.
Exemplos:
n1 = n
51 = 5
641 = 64
Toda potência
10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n
zeros.
Exemplos:
103 = 1000
108 =
100.000.000
10o = 1
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Potenciação
com o browser
Para obter uma
potência Mn com o Browser Netscape, como, por exemplo
125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da
forma como está escrito, na caixa que aparece em seu
browser com o nome do arquivo que está sendo acessado
neste momento (location=endereço). Após isto, pressione
a tecla ENTER. Você verá uma nova janela como a
resposta 248832. Para sair da janela com a resposta,
pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
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Números
grandes
No livro
"Matemática e Imaginação", o matemático
americano Edward Kasner apresentou um número denominado
googol que pode ser representado por 1 seguido de 100
zeros.
1 Googol =
10100
Ele pensou que
este era um número superior a qualquer coisa que
passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer
coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol
é um pouco maior do que o número total de partículas
elementares conhecidas no universo, algo da ordem de
1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido
de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo
em torno de 10128 partículas.
Um outro
matemático criou então o googolplex e o definiu como
sendo 10 elevado ao googol.
1 Googolplex =
10Googol = 1010100
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Exercícios
Na figura ao
lado, coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos
círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja
sempre igual a 10.
Um gavião viu
um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:
Olá minhas
100 pombinhas.
Uma delas
respondeu:
Não somos 100
não meu caro gavião, seremos 100, nós, mais dois
tantos de nós e mais você meu caro gavião.
Quantos pombos
há neste grupo?
Três homens
querem atravessar um rio. O barco que eles possuem
suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo
pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o
processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
Forme um
quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e
9 tal que, a soma dos números de qualquer linha,
qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre
igual a 15.
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