PRODUTOS NOTÁVEIS
É muito comum nas expressões
algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos
cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela
abaixo:
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Produtos notáveis |
Exemplos |
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(a+b)2 =
a2+2ab+b2 |
(x+3)2 =
x2+6x+9 |
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(a-b)2 =
a2-2ab+b2 |
(x-3)2 =
x2-6x+9 |
|
(a+b)(a-b) = a2-b2 |
(x+3)(x-3) = x2-9 |
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(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab |
(x+2)(x+3) = x2+5x+6 |
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(a+b)3 =
a3+3a2b+3ab2+b3 |
(x+2)3 =
x3+6x2+12x+8 |
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(a-b)3 =
a3-3a2b+3ab2-b3 |
(x-2)3 =
x3-6x2+12x-8 |
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(a+b)(a2-ab+b2)
= a3+b3 |
(x+2)(x2-2x+4)
= x3+8 |
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(a-b)(a2+ab+b2)
= a3-b3 |
(x-2)(x2+2x+4)
= x3-8 |
ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1)
Desenvolva:
a)
(3x+y)2
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2
= 9x2+6xy+y2
b)
((1/2)+x2)2
((1/2)+x2)2
= (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4)
+x2+x4
c)
((2x/3)+4y3)2
((2x/3)+4y3)2
= (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2=
(4/9)x2-(16/3)xy3+16y6
d)
(2x+3y)3
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3
= 8x3+36x2y+54xy2+27y3
e)
(x4+(1/x2))3
(x4+(1/x2))3
= (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3
= x12+3x6+3+(1/x6)
f)
((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))
((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 =
(4/9)x2-(16/25)y2
2)
Efetue as multiplicações:
a)
(x-2)(x-3)
(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3)
= x2-5x+6
b)
(x+5)(x-4)
(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4)
= x2+x-20
3)
Simplifique as expressões:
a) (x+y)2–x2-y2
(x+y)2–x2-y2
= x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7)
+ x2+(-5+3)x+3.(-5) =
x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29
c)
(2x-y)2-4x(x-y)
(2x-y)2-4x(x-y)
= (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy
= y2
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