Números Racionais

Números racionais

Um número racional é um número que pode ser escrito na forma m ; n .

Onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Freqüentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n não nulo}

Quando existe interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

Em Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

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Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum vermos: uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses. Para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado, pois a linguagem HTML não possui símbolos especiais para colocarmos a barra sobre o período.

Exemplos: Dízimas periódicas

0,3333333... = 0,3

1,6666666... = 1,6

12,121212... = 12,12

0,9999999... = 0,9

7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período.

Exemplos: Dízimas periódicas simples.

0,333333... = 0,(3) = 0,3

3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período.

Exemplos: Dízimas periódicas compostas.

0,83333333... = 0,83

0,72535353... = 0,7253

Observação: Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais.

Exemplos:

0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

0,8333... = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

4,7855... = 4,0 + 0,70 + 0,080 + 0,005 + 0,0005 + ...

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A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na seqüência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na seqüência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

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A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S = 1

= 0,33333... = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

T =0,31+0,0031+0,000031+...

Multiplicando esta soma "infinita" por 102=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

100 T - T = 31

donde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

S = 31

= 0,31313131... = 0,31

Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

R = 647

= 7,1888... = 7,18

Um quarto tipo de dízima periódica é

T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+...

Multiplique agora a soma "infinita" por 103=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

U = 6997

999

= 7,004004... = 7,004

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Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas. Dois importantes números irracionais, são:

e = 2,718281828459045...

Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado tem 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

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Representação geométrica dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

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Ordem no conjunto Q

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

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Simetria no conjunto Q

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0.

Exemplos:

O oposto de 3/4 é -3/4

O oposto de 5 é -5

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

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Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos:

|0| = 0

|2/7| = 2/7

|-6/7| = 6/7

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

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A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

+ c

= a.d + b.c

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

× c

= a.c

b.d

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que:

Números com sinais O produto é

iguais positivo

diferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

× b

= 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado:

Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

É claro que a divisão de números racionais esclarece a questão:

÷ c

= a

× d

= ad

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

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Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

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Potenciação de números racionais

Definição: A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q

n vezes

Exemplos:

(2/5)3 = (2/5) x (2/5) x (2/5) = 8/125

(-1/2)3 = (-1/2) x (-1/2) x (-1/2) = -1/8

(-5)2 = (-5) x (-5) = 25

(+5)2 = (+5) x (+5) = 25

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência q2 pode ser lida como: q elevado ao quadrado e quando o expoente é n=3, a potência q3 pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q2 onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q3 onde q é a medida da aresta do cubo.

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Radiciação de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] é equivalente a q = rn

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r2=q.

Exemplos:

A raiz cúbica de 125 é igual a 5 pois 53 = 125.

A raiz cúbica de -125 é igual a -5 pois (-5)3 = -125

A raiz quadrada de 144 é igual a 12 pois 122=144.

A raiz quadrada de 144 não é igual a -12 embora (-12)2=144.

Não existe a raiz quadrada de -4 no conjunto Q dos números racionais.

Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

R3[8] = 2, pois 23 = 8.

R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.

R3[27] = 3, pois 33 = 27.

R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

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Médias aritmética, ponderada, geométrica e harmônica

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Média aritmética

Consideremos uma coleção formada por n números racionais:

x1 , x2 , x3 , ..., xn

A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A = x1 + x2 + x3 + ... + xn

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A = 12+54+67+15+84+24+38+25+33

isto é:

A = 352

= 39,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

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Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números racionais:

x1 , x2 , x3 , ..., xn

de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por:

p1 , p2 , p3 , ... , pn

A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

A = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3+ ... + xn pn

p1 + p2 + p3+ ... + pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,00

10 ganham R$ 60,00

20 ganham R$ 25,00

15 ganham R$ 90,00

7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

A = 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 7

ou seja

P = 3890

= 60,78

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Média geométrica

Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos:

x1 , x2 , x3 , ... , xn

A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 × 64 × 126 × 345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm2, qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica da média geométrica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta. Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

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Média harmônica

Consideremos uma coleção formada por n números racionais positivos:

x1 , x2 , x3 , ... , xn

A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Aplicações práticas: Para os interessados em muitas aplicações do conceito de harmonia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link: Harmonia.