Número 1

NÚMERO 1

1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111

Determine a soma seguinte em função de n:

S = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111, onde a última parcela é um número formado por n algarismos iguais a 1.

Solução:

Observe que poderemos reescrever a igualdade como segue:

S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + c_n
onde c_n é a última parcela 11...11111, um número formado por n algarismos iguais à unidade.

Observando atentamente o segundo membro da igualdade acima, veremos que:
Primeiro termo = 1 = 10⁰
Segundo termo = 10 + 1 = 10¹ + 1
Terceiro termo = 100 + 10 + 1 = 10² + 10¹ + 1
Quarto termo = 1000 + 100 + 10 + 1 = 10³ + 10² + 10 + 1
e assim sucessivamente.

É razoável supor, baseado nas igualdades anteriores, que o termo de ordem n
(n-ésimo termo) c_n será dado por:
c_n = 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

A soma S poderá ser reescrita como:

S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1
contendo n termos, ou seja, a soma dada no enunciado possui sempre n parcelas.

Ou na forma equivalente:
S = 1 + (10+1) + (10²+10+1) + (10³+10²+10+1) + ... + 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

Vamos escrever as parcelas acima na forma abaixo, de modo a ajudar na análise:
1
10 + 1
10² + 10 + 1
10³ + 10² + 10 + 1
10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 1
10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 1
10⁶ + 10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 1
.................................................................
......................................................................
10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

Verifique que na soma acima:

O número 1 aparece em todos os termos e, portanto, aparece n vezes.
O número 10 aparece em (n 1) termos e, portanto aparece (n 1) vezes.
O número 100 = 10² aparece (n 2) vezes
O número 1000 = 10³ aparece (n 3) vezes e assim sucessivamente.

Portanto poderemos escrever:

S = 1.n + 10(n-1) + 10²(n-2) + 10³(n-3) + ... + 10^n-1(n-(n-1))
S = 1.n + 10(n-1) + 10²(n-2) + 10³(n-3) + ... + 10^n-1
S = n + 10(n - 1) + 10²(n - 2) + 10³(n - 3) + ... + 10^n-1
Como S é uma soma de valor positivo, o máximo valor que n poderá assumir na igualdade acima será igual ao número de parcelas consideradas. Esta fórmula é a solução do problema proposto, pois expressa a soma em função de n.

Vejamos alguns exemplos:

SÞn = 1 ₁ = 1
n SÞ= 2 ₂ = 2 + 10(2-1) = 12 = 1 + 11
SÞn = 3 ₃ = 3 + 10(3-1) + 10²(3-2) = 3 + 20 + 100 = 123 = 1 + 11 + 111
Þn = 4 S₄ = 4 + 10(4-1) + 10²(4-2) + 10³(4-3) = 1234 = 1 + 11 + 111 + 1111
SÞn = 5 ₅ = 5 + 10(5-1) + 10²(5-2) + 10³(5-3) + 10⁴(5-4) = 12345 = 1+11+111+1111+11111
e assim sucessivamente.

Vamos formar uma tabela resumo contendo os 10 primeiros resultados da soma proposta no problema:

n	Soma	Resultado
1	1	1
2	1 + 11	12
3	1 + 11 + 111	123
4	1 + 11 + 111 + 1111	1234
5	1 + 11 + 111 + 11111	12345
6	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111	123456
7	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111	1234567
8	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111	12345678
9	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111	123456789
10	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111 + 1111111111	1234567900

De uma forma geral, conforme já vimos, a soma de n parcelas será dada em função de n pela expressão:

S = n + 10(n - 1) + 10²(n - 2) + 10³(n - 3) + ... + 10^n-1

Exemplo:

para n = 11, a fórmula acima dará:

S₁₁ = 11 + 10(11 1) + 10²(11 2) + 10³(11 3) + 10⁴(11 4) + 10⁵(11 5) +
+ 10⁶(11 6) + 10⁷(11 7) + 10⁸(11 8) + 10⁹(11 9) + 10¹⁰(11 10) =
= 12345679011
Realmente, o valor da soma
1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+
111111111+1111111111++11111111111 = 12345679011, obtido efetuando-se a conta pelo método usual, senão vejamos:

	1
	11
	111
	1111
	11111
	111111
+	1111111
	11111111
	111111111
	1111111111
	11111111111
	12345679011

Veja AQUI uma outra solução mais fácil para este problema

De um jeito mais fácil

Vamos calcular a soma das n parcelas
1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11... 1111, onde o último termo possui n algarismos - visto no exercício anterior - de um jeito mais tranqüilo e muito mais fácil. O método anterior, foi também uma viagem importante, porém, muito longa. Entretanto, o caminho adotado na solução anterior, nos proporcionou reflexão e conhecimento.
Sigamos em frente, então.
Já vimos que a soma
9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99...9999
é dada pela fórmula

Observando que 9 + 99 + 999 + ... + 99...999 = 9 (1 + 11 + 111 + ... + 11...111) e substituindo o primeiro membro pela fórmula acima, fica:

Daí, tirando o valor da soma 1 + 11 + 111 + ... + 11...111 da igualdade acima, resulta finalmente:

Uma conclusão interessante tirada da fórmula acima é que para todo n natural maior ou igual a 1, o número 10ⁿ⁺¹ – 9n – 10 é um número divisível por 81. Isto é óbvio, já que a soma 1 + 11 + 111 + ... + 11...111 resulta sempre num número natural.

Agora resolva este:

Calcule a soma S = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + 33...3333 que contém n parcelas, onde o último termo possui n algarismos.

Resposta: S = (1/27)(10ⁿ⁺¹ – 9n – 10)