Progressão Aritmética (P.A)

I - Introdução: Em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos seqüências cujos elementos estão dispostos em uma determinada ordem. Quando estas seqüências apresentam um crescimento ou decrescimento constante aritmeticamente dizemos que são P.A’s. As P.A’s estão sempre presentes em provas de vestibulares e de alguns concursos. São questões onde a maior dificuldade é interpretação dos dados e a escolha correta da fórmula. Nesta aula veremos alguma dicas de como escolher corretamente a fórmula e se ela é ou não necessária.

II – Formulário:

1^o - Fórmula do termo geral:

a_n = a₁+ (n -1) . r

an = Termo geral

a1= 1º Termo

n = Número de termos

r = Razão

OBS : A razão define se a P.A é crescente, decrescente ou constante.

r >0 crescente

r < 0 decrescente

r = 0 constante

Esta fórmula é utilizada para calcular o termo geral, ou seja, um determinado valor que ocupa uma posição determinada na P.A. . este valor ocupa a enésima (n) posição. Pode ser utilizado para:

a) a) Numa pilha de tambores: achar quantos tambores existem em uma fileira.

b) b) Num telhado: quantas telhas tem uma determinada fileira.

c) c) Quantos números múltiplos de determinado valor existem entre dois extremos. Ex.: Quantos múltiplos de três temos entre 13 e 247

a_{1= 15}

a_{n= 246}

r= 3

n= número de termos, logo o número de múltiplos

246 = 15 + (n-1).3

246 = 15 + 3n-3

246 = 12 + 3n

3n = 246 - 12

n = 234/3 =78

d) d) etc...

2^o- Propriedades:

1º) r= a₂- a₁= a₃-a₂ = a₄ - a₃ = constante

2º) a₂= (a₁+ a₃) / 2 ( termo médio)

3º) a₁+ a₆ = a₂+ a₅ = a₃+ a₅ (soma dos termos eqüidistantes)

OBS:Se a_{1 =}r temos ainda: a₁ + a₂+ a₃ = a₆

a₂+ a₃ + a₅ = 2a₅

a₅+ a₇ = a₄+ a₃+ a₅

_{5+7=12 4+3+5=12}

(a₁, a_2,a_3, a_4,a_5,a_6,a_7,... )

Ex.: P.A ( 4 , 8, 12, 16, 20, 24, 28,...)

a₁ + a₃+ a₅ = a₉

a_{2 +}a₃= a_{5 8+12=20}

Ex. : Sea₂ + a₄+ a₆ = 48. Quanto vale:

a) a) a₅+ a₇ =? . : a₅₊₇= a₂₊₄₊₆= 48

_{b)

b)} a_{24 = ?
. :}a_{24 =} a_{12 +} a_{12 =} a₁₂₊₁₂= 96

_{c)

c)} a_{6 = ? .
:}a_{6 =} (a₁₂ ) / 2 = 48/2 = 24

A progressão aritmética pode ser vista como sendo uma escada, pois a partir do 2º termo, cada termo é a soma do seu antecessor com uma constante.

a₁ = a₁

a₂ = a_{1 + r}

a_{3 =}a_{2 + r =} a₁+ 2r

a_n = a_n-1+ r = a_n = a₁ + (n – 1).r

OBS: Se o número de termos for ímpar podemos utilizar : ( x – r , x , x + r ) 3 termos

( x - 2r , x - r , x , x + r , x + 2r ) 5 termos

3^o - Fórmula da Soma dos n primeiros termos:

S_n = [(a_{1 +}a_n)/ 2] . n

a₁ = 1^o termo

S_n = Soma dos n termos

n =número de termos

OBS : Média aritmética : MA = S_n / n

Esta fórmula é muitas vezes confundida com a do termo geral (vista anteriormente) mas é fácil fazer a distinção. A da “Soma” serve para calcular a quantidade total de todos os termos e a do termo geral “é local” só determina o valor dos elementos do termo escolhido.

Ex. : Numa pilha de tambores arrumados em P.A o termo geral fornece o número total de tambores de uma fileira escolhida. Já a “Soma” determina o número total de tambores até aquela fileira incluindo-a.

Ex. : Num telhado onde as telhas estão arrumadas em P.A o termo geral fornece o número de telhas até uma determinada fileira. Já a “Soma” fornece o total de telhas até uma determinada fileira, incluindo-a .

DICA : Para guardar pense a_né “ local “

S_n é “ total “