Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).

Obs.: r =0 P.A. é constante.

r>0P.A. é crescente.

r<0P.A. é decrescente.

De um modo geral temos:

Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é: 

Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r

1.1 – FÓRMULA DO TREMO GERAL DE UMA P.A. 

Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an)  de razão r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:

 a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r

Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.:

Prof. Júlio Oliveira

Nota Importante:

Quando procuramos uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

•     Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)

•     Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =

•     Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou

                            (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

Prof. Júlio Oliveira

1.2 – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a₁ e a_n, significa obter uma P.A. de k+2 termos, cujos os extremos são a₁ e a_n.

Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.

Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r  r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 

1.3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.(Sn)

Vamos considerar a P.A.

(a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).

Agora vamos escrevê-la de uma outra forma:

(an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.

Somando (1) + (2), vem:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

Observe que cada parênteses  representa a soma dos extremos da P.A. , portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)

n - vezes

2Sn =  que é a soma dos n termos de uma P.A.  

2.    PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n,...), então se ela for uma P.G. a_n = a_n-1 . q , com n2 e nIN, onde:

a₁ – 1º termo

a₂ = a₁. q

a₃ = a₂. q²

a₄ = a₃. q³ .

a_n = a_n-1. q  

2.1 – CLASSIFICAÇÃO DAS P.G'^S.

1.      Crescente:

2.      Decrescente:

3.      Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4.      Constante: quando q = 1

5.      Estacionária ou Singular: quando q = 0

2.2 – FÓRMULA DO TERMO GERAL

Vamos considerar uma P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄,..., a_n,...). Pela definição temos:

a₁ = a₁

a₂ = a₁. q

a₃ = a₂. q²

a₄ = a₃. q³ .

a_n = a_n-1. q

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem:

a_n = a₁.q.q.q....q.q

(n-1 fatores)

Termo Geral da P.A.

2.3 – INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2  elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G. Mais à frente resolveremos alguns problemas envolvendo Interpolação.

2.4 – SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a  P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n-1, a_n...), de razão  e a soma S_n de seus n termos pode ser expressa por:

S_n = a₁+a₂+a₃+a_4... +a_n(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem:

q.S_n = (a₁+a₂+a₃+a_4... +a_n).q

q.S_n = a₁.q+a₂.q+a₃ +_.. +a_n.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),

temos:

q.S_n - S_n = a_n . q - a₁

S_n(q - 1) = a_n . q - a₁ ou

 , com

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:

2.5 – SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Dada a  P.G. infinita: (a₁, a₂, a₃, a₄, ...), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

1. Se a₁= 0 S = 0, pois

2. Se q <–1 ou q > 1, isto é  e a₁0, S tende a ou . Neste caso é impossível calcular a soma S dos termos da P.G.

3. Se –1< q < 1, isto é, e a₁0, S converge para um valor finito. Assim a partir da Fórmula da soma dos n termos de uma P.G. , vem:

Quando n tende a  , qⁿ tende a zero, logo:

 que é a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Infinita.

Obs.: S nada mais é do que o limite da Soma dos termos da P.G., quando n tende para É representada desta forma:

2.6 – PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA.

Dada a  P.G. finita: (a₁, a₂, a₃, ...a_n-1, a_n), de razão q e P seu produto, que é dado por:

ou

Multiplicando membro a membro, vem:

 Esta é a fórmula do produto dos termos de uma P.G. finita.

 Podemos também escrever esta fórmula de outra forma, pois:

Logo:

Julio César Oliveira

EXERCÍCIOS

1.                  Qual número que se deve somar a 1, 3 e 4 para que se tenha, nessa ordem, uma P.G. ?

Resp: –5

2.                  A seqüência ( x+2, x–2, 3x–6,...) é uma P.G. Calcule seu 4º termo.

Resp: 0 ou –54

3.                  Determine quantos termos tem a P.G. (6, 18, 1458).

Resp: 6

4.                  (ITA-SP) Dada a P.G. finita , onde . Determinar se é correta a igualdade:

Resp: Não são iguais.

5.                  Numa P.G. o 5º termo é igual a 243. Calcule seu 1º termo sabendo que ele é igual a razão.

Resp: 3

6.                  Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 m na segunda hora, 64 m na terceira hora e assim por diante. Determine o tempo (em horas) necessário para complementar o percurso de:

a) 480m         b) 500m         c) 600m

Resp: a) 4h, b) 5h, c) impossível