Cônicas e Parábolas
 

 

CÔNICAS 

Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.

 

 

PARÁBOLA 

Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F, F Ï d, do plano.

 

 

O ponto F chama-se foco e a reta d chama-se diretriz da parábola. A distância entre F e d, que vamos representar por 2p, chama-se parâmetro da parábola.

O ponto V da parábola, tal que d_VF = p, é o vértice e a reta VF é denominada eixo da parábola (é o eixo de simetria).

A propriedade característica dos pontos P da curva é:

 

 

Equação da parábola

 

Vamos obter a equação da parábola de foco F(x₀, y₀ + p) e diretriz (d)y – (y₀ – p) = 0. Observe que o vértice é V(x₀, y₀) e a parábola tem “concavidade para cima”. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:

 

 

d_{P, d} = d_PF

 

=

 

 =

 

(y – y₀ + p)² = (x – x₀)² + (y – y₀ – p)²

 

(y - y₀)² + 2p(y – y₀) + p² = x² – 2x₀x + x₀² + (y – y₀)² – 2p(y – y₀) + p²

 

4py – 4py₀ = x² – 2x₀x + x₀²

 

que podemos colocar na forma:

 

y = x2 +  x +

 

ou ainda

 

 

onde a =  (portanto a > 0), b =  e c =

 

Observações:

 

1)      Quando a parábola tem “concavidade para baixo” também obtemos equação da forma  y = ax2 + bx + c, mas com a < 0.

2)      Toda equação da forma y = ax2 + bx + c, com a ¹ 0, tem como gráfico uma parábola de concavidade para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). As coordenadas do vértice são dadas por x_V =  e y_V = .

3)      No caso de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x, obtemos uma equação da forma com a ¹ 0. Neste caso, as coordenadas do vértice são y_V =  e x_V = .

 

 

4)      Para obter a equação de uma parábola da qual conhecemos o foco F e a diretriz d empregamos o método dos lugares geométricos: aplicamos a um ponto genérico P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola (d_{P, d} = d_PF).

5)      Quando o eixo da parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas também se enquadra na forma geral da equação do 2.º grau a duas incógnitas: Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

 

A parábola é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone.

 

Figura: Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano

 

 

Exemplo:

 

Obter a equação da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0.

Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:

 

 

d_{P, d} = d_PF

 

=

 

 =

 

y2 – 2y + 1 = x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9

 

4y = x² – 4x + 12

 

A equação é y = x² – x + 3 (a = , b = –1 e c = 3).

 

 

ELIPSE

 

Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados, F₁ e F₂, do plano, é igual a uma constante 2a, maior que a distância F₁F₂.

 

 

Os pontos F₁ e F₂ chamam-se focos  e a distância entre eles, que vamos representar por 2c, é a distância focal da elipse.

 

d_F1F2 = 2c (distância focal)

 

O ponto médio O do segmento F₁F₂ é o centro.

 

A reta F₁F₂ é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A₁ e A₂ tais que a distância entre eles é 2a. O seguimento A₁A₂ é chamado eixo maior da elipse.

 

d_A1A2 = 2a (eixo maior)

 

A reta perpendicular F₁F₂, pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a elipse nos pontos B₁ e B₂. O segmento B₁B₂ é chamado eixo menor da elipse e vamos representar sua medida por 2b.

 

d_B1B2 = 2b (eixo menor)

 

Do triângulo retângulo OF₂B₂ decorre que:

 

 

Chamamos excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo maior. Decorre que:

 

 

A propriedade característica dos pontos P da curva é

 

 

Equação da elipse

 

Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos no eixo das abscissas. Notemos que:

 

F₁ = (–c, 0) e F₂ = (c, 0)

A₁ = (–a, 0) e A₂ = (a, 0)

B₁ = (0, –b) e B₂ = (0, b)

 

 

Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da elipse:

 

d_PF1 + d_PF2 = 2a

 

 +  = 2a

 

 =  (2a –  )²

 

x² + 2cx + c² + y² = 4a² – 4a  + x² – 2cx + c² + y²

 

4a  = 4a² – 4cx

 

(a )² = (a² – cx)²

 

a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² = a⁴ – 2a²cx + c²x²

 

(a² – c²)x² + a²y² = a⁴ – a²c²

 

(a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)

 

Como a² – c² = b², vem que

 

b²x² + a²y² = a²b²

 

e dividindo por (a²b²) fica

 

 

que é a chamada equação reduzida da elipse.

 

Observações

 

1)      Para y = 0, na equação acima, obtemos x² = a²; logo x = ±a, que são as abscissas dos pontos onde a curva corta o eixo x.

Para x = 0 obtemos y² = b²; logo, y = ±b, que são as ordenadas dos pontos de intersecção com o eixo y.

 

2)      No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação

 

 

 

3)      Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na forma geral

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

 

A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu eixo.

 

Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

 

 

Exemplo

 

Obter a equação da elipse de focos F₁(–3, 0) e F₂(3, 0) e eixo maior 2a = 10.

 

Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F₁F₂, é a origem O(0, 0). Então, a equação é

 

 

 

Temos a = 5 e c = = 3

 

Da relação a² = b² + c² vem b² = a² – c² = 5² – 3² = 16

 

Logo, a equação é , ou ainda, 16x² + 25y² = 400

 

 

HIPÉRBOLE

 

Denominamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos de uma plano pra os quais a diferença das distâncias a dois pontos dados, F₁ e F₂, do plano é em valor absoluto igual a uma constante 2a, menor que a distância F₁F₂.

 

 

Os pontos F₁ e F₂ chamam-se focos e d_F1F2 = 2c é a distância focal.

O ponto médio O do segmento F₁F₂ é o centro.

A reta F₁F₂ é um eixo de simetria da curva. Ela intercepta a hipérbole nos pontos A₁ e A₂. O segmento A₁A₂ é chamado eixo real (ou eixo transverso) e sua medida é

d_A1A2 = 2a.

A reta perpendicular a F₁F₂ pelo centro O é outro eixo de simetria da hipérbole. Nela indicamos os pontos B₁e B₂ que distam c unidades dos pontos A₁ e A₂. O segmento B₁B₂ é chamado eixo conjugado (ou eixo imaginário) e indicamos sua medida por 2b.

Do triângulo retângulo indicado na figura decorre que:

 

 

A excentricidade é o número e definido por:

 

 

A propriedade característica dos pontos P da curva é:

 

 

Na figura indicamos também um retângulo de centro 0, um lado de medida 2a paralelo ao eixo real e outro lado da medida 2b. As retas que contêm as diagonais desse retângulosão as assíntotas da hipérbole. (Quando prolongamos a curva, ela se aproxima cada vez mais das assíntotas, sem nelas tocar). Quando este retângulo tem os lados iguais, isto é, quando a = b, dizemos que a hipérbole é equilátera. Uma hipérbole equilátera tem excentricidade e = .

 

 

Equação da hipérbole

 

Vamos obter a equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos situados no eixo das abscissas. Notemos que:

 

F₁ = (–c, 0) e F2 = (c, 0)

A₁ =  (–a, 0) e A2 = (a, 0)

 

Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da hipérbole:

 

 

 

­– = ±2a

 

 =  (±2a +  )²

 

x² + 2cx + c² + y² = 4a² ± 4a  + x² – 2cx + c² + y²

 

±4a  = 4a² – 4cx

 

(±a )² = (a² – cx)²

 

a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² = a⁴ – 2a²cx + c²x²

 

(a² – c²)x² + a²y² = a⁴ – a²c²

 

(a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)

 

Como a² – c² = –b², vem que –b²x² + a²y² = ­–a²b²

 

e dividindo por (–­a²b²) fica

 

 

que é a chamada equação reduzida da hipérbole.

 

Observações

 

1)      Para y = 0, na equação acima, obtemos x² = a²; logo, x = ±a, que são abscissas dos pontos de intersecção da hipérbole com o eixo x. Não existe ponto de intersecção com o eixo y.

 

2) No caso da hipérbole de centro O(0, 0) e focos no eixo y obtemos a equação

 

 

3)      Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma equação do 2^o grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

 

A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo.

 

Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano

 

 

Exemplo:

 

Obter a equação da hipérbole de focos F₁(–4, 0) e F₂(4, 0) e eixo real 2a = 4.

 

Notemos que os focos estão no eixo x e o centro, que é o ponto médio de F₁F₂, é O(0, 0). Então, a equação é

 

 

 

 

Temos a = 2 e c = = 4

 

Da relação c² = a² + b² vem que b² = c² – a² = 4² – 2² = 12

 

A equação é , portanto,  , ou ainda, 3x² – y² = 12

 

CÔNICAS NO PLANO

 

Definição: Uma cônica em R² é um conjunto de pontos cujas coordenads em relação à base canônica satisfazem a equação:

 

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

 

onde A ou B ou C ¹ 0.

 

Observe que a equação da cônica envolve uma forma quadrática, Q(x,y) = Ax² + Bxy + Cy², uma forma linear, L(x,y) = Dx + Ey, e um termo constante F. Isto é, a equação que define a cônica é:

 

 

Exemplos

 

Circunferência

A = C = 1 B = D = E = 0 F = -r2

 

 

Elipse

 

A =  , C =  ; a > 0 , b > 0 B = D = E = 0 F = –1

 

Hipérbole

 

A =  , C =  ; a > 0 , b > 0 B = D = E = 0 F = –1

 

Parábola

 

 

Temos ainda os casos chamados degenerados

 

Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)

 

 

 

 

 

Par de retas paralelas (parábola degenerada)

 

 

Uma reta (parábola degenerada)

 

 

Um ponto (elipse degenerada)

 

 

Vazio (elipse ou parábola degenerada)

 

 

 

As equações das cônicas aquí representadas estão na “forma reduzida”, isto é, B = 0, se A ¹ 0, D = 0 e se C ¹ 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima.

As cônicas aquí, estão definidas algébricamente.

 

 

Exemplo 1:

 

2x² – 5y² –7 = 0

 

2x² – 5y² = 7

 

 

 

, que é uma hipérbole

 

Exemplo 2:

 

x²  + y² – 6x – 2y + 8 = 0

(x – 3)² + (y – 1)² = 2

x₁² + y₁² = 2

 

onde

x₁ = x – 3 e

y₁ = y – 1

 

 

circunferência de raio  e centro(3, 1).

 

Exemplo 3:

 

Dada a equação na base canônica a em R²:

 

2x² + 2y² + 4xy + 4x + 12y – 8 = 0

 

nosso objetivo, mais uma vez, será determinar que figura esta cônica representa no plano. Para isto, precisamos inicialmente eliminar os termos mistos, do tipo xy, através da diagonalização da forma quadrática.

 

1º. Passo: Escrevendo a equação anterior na forma matricial, temos:

 

[x   y] + [4  12] – 8 = 0

 

 

 

2º. Passo: Vamos calcular os autovalores e os autovetores ortonormais da matriz .

 

P(l) =  = (2 – l)² – 4 = –4l + l²

 

Então os autovalores são 0 e 4.

 

Para l1 = 0, = , e v₁ =

 

Para l2 = 4, = , donde v₂ =

 

Sabemos que nesta nova base de autovetores b = {v₁, v₂}, a forma quadrática

 

Q(v) = [x   y] onde [v]_a =

 

se reduz a

 

Q(v) = [x₁   y₁] se [v]_b =

 

3º. Passo: Agora precisamos determinar a relação que existe entre  e e substituir o resultado na parte linear da equação dada.

 

L(v) = [4   12] 

 

Mas, = [ I ]

 

Logo  =

 

4º. Passo: A equação original se reduz a

 

 

 

[x₁ y₁]  + [4 12]  – 8 = 0

 

0x₁² + 4y₁² + 4 +  12 – 8 = 0

 

4y₁² – 4x₁ + 4y₁ + 12x₁ + 12y₁ – 8 = 0

 

4y₁² + 8x₁ + 16y₁ – 8 = 0

 

y₁² + 2x₁ + 4y₁ – 2 = 0

 

Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial formado pelas retas suporte de v₁ e v₂, como mostra a figura.

 

 

Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica. Ela será dada por uma translação do referencial acima.

 

5º. Passo: Para “eliminar” os termos lineares onde isto é possível (l ¹ 0), agrupamos os termos de y₁² + 2x₁ + 4y₁ –2 = 0 convenientemente.

 

(y₁² + 4y₁ + 4) – 4 + 2x₁ – 2 = 0

(y₁ + 2)² + 2(x1 – 3) = 0

 

Tornando x₂ = x₁ – 3 e y₂ = y₁ + 2, obtemos y₂² + 2x₂ – 6 = 0 ou finalmente

 

x₂ = –  y₂²

 

Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R₃, obtido por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola, conforme indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R₃ será x₂ = 0 e y₂ = 0, isto é, x₁ – 3 = 0 e y₁ + 2 = 0.

 

 

Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas, estabelecendo em detalhes o que deve ser feito em cada passo.

 

Procedimento Geral de Classificação das Cônicas:

 

Dada a equação (em coordenadas canônicas de R²)

 

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A ou B ou C ¹ 0), para achar que figura ela representa no plano, devemos proceder do seguinte modo:

 

1º. Passo: Escrevemos a equação na forma matricial:

 

[x  y]   + [D  E]  + F = 0

 

2º. Passo: Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores l1 e l2 e os autovetores ortonormais v₁ e v₂ de

 

3º. Passo: Obtemos as novas coordenadas. Para isto, precisamos para substituir na equação de  = [ I ]

 

4º. Passo: Substituimos as novas coordenadas na equação, obtendo a equação na nova base {v₁, v₂}

 

 

[x₁   y₁]   +  [D   E] [ I ]  + F = 0

 

ou seja, l₁x₁² + l₂y₁² + ax₁ + by₁ + F = 0

 

5º. Passo: Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos. Temos então três casos:

 

i)                    l₁ e l₂ ¹ 0

 

l₁x₁² + ax₁ + l₂y₁² + by₁ + F = 0

 

l₁ –   + l + l₂ –  + F = 0

 

Seja x₂ = x₁ +  e y₂ = y₁ + , temos então l₁x₂² + l₂x₂² + f = 0

(que é uma das equações típicas) onde

 

f = F – –