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3) Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma equação do 2o grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo.
Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo:
Obter a equação da hipérbole de focos F1(–4, 0) e F2(4, 0) e eixo real 2a = 4.
Notemos que os focos estão no eixo x e o centro, que é o ponto médio de F1F2, é O(0, 0). Então, a equação é
Temos a = 2 e c = = 4
Da relação c2 = a2 + b2 vem que b2 = c2 – a2 = 42 – 22 = 12
A equação é , portanto, , ou ainda, 3x2 – y2 = 12
CÔNICAS NO PLANO
Definição: Uma cônica em R2 é um conjunto de pontos cujas coordenads em relação à base canônica satisfazem a equação:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
onde A ou B ou C ¹ 0.
Observe que a equação da cônica envolve uma forma quadrática, Q(x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2, uma forma linear, L(x,y) = Dx + Ey, e um termo constante F. Isto é, a equação que define a cônica é:
Exemplos
Circunferência
Elipse
Hipérbole
Parábola
Temos ainda os casos chamados degenerados
Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)
Par de retas paralelas (parábola degenerada)
Uma reta (parábola degenerada)
Um ponto (elipse degenerada)
Vazio (elipse ou parábola degenerada)
As equações das cônicas aquí representadas estão na “forma reduzida”, isto é, B = 0, se A ¹ 0, D = 0 e se C ¹ 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima. As cônicas aquí, estão definidas algébricamente.
Exemplo 1:
2x2 – 5y2 –7 = 0
2x2 – 5y2 = 7
, que é uma hipérbole
Exemplo 2:
x2 + y2 – 6x – 2y + 8 = 0 (x – 3)2 + (y – 1)2 = 2 x12 + y12 = 2
onde x1 = x – 3 e y1 = y – 1
circunferência de raio e centro(3, 1).
Exemplo 3:
Dada a equação na base canônica a em R2:
2x2 + 2y2 + 4xy + 4x + 12y – 8 = 0
nosso objetivo, mais uma vez, será determinar que figura esta cônica representa no plano. Para isto, precisamos inicialmente eliminar os termos mistos, do tipo xy, através da diagonalização da forma quadrática.
1º. Passo: Escrevendo a equação anterior na forma matricial, temos:
[x y] + [4 12] – 8 = 0
2º. Passo: Vamos calcular os autovalores e os autovetores ortonormais da matriz .
P(l) = = (2 – l)2 – 4 = –4l + l2
Então os autovalores são 0 e 4.
Para l1 = 0, = , e v1 =
Para l2 = 4, = , donde v2 =
Sabemos que nesta nova base de autovetores b = {v1, v2}, a forma quadrática
Q(v) = [x y] onde [v]a =
se reduz a
Q(v) = [x1 y1] se [v]b =
3º. Passo: Agora precisamos determinar a relação que existe entre e e substituir o resultado na parte linear da equação dada.
L(v) = [4 12]
Mas, = [ I ]
Logo =
4º. Passo: A equação original se reduz a
[x1 y1] + [4 12] – 8 = 0
0x12 + 4y12 + 4 + 12 – 8 = 0
4y12 – 4x1 + 4y1 + 12x1 + 12y1 – 8 = 0
4y12 + 8x1 + 16y1 – 8 = 0
y12 + 2x1 + 4y1 – 2 = 0
Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial formado pelas retas suporte de v1 e v2, como mostra a figura.
Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica. Ela será dada por uma translação do referencial acima.
5º. Passo: Para “eliminar” os termos lineares onde isto é possível (l ¹ 0), agrupamos os termos de y12 + 2x1 + 4y1 –2 = 0 convenientemente.
(y12 + 4y1 + 4) – 4 + 2x1 – 2 = 0 (y1 + 2)2 + 2(x1 – 3) = 0
Tornando x2 = x1 – 3 e y2 = y1 + 2, obtemos y22 + 2x2 – 6 = 0 ou finalmente
x2 = – y22
Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R3, obtido por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola, conforme indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R3 será x2 = 0 e y2 = 0, isto é, x1 – 3 = 0 e y1 + 2 = 0.
Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas, estabelecendo em detalhes o que deve ser feito em cada passo.
Procedimento Geral de Classificação das Cônicas:
Dada a equação (em coordenadas canônicas de R2)
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A ou B ou C ¹ 0), para achar que figura ela representa no plano, devemos proceder do seguinte modo:
1º. Passo: Escrevemos a equação na forma matricial:
[x y] + [D E] + F = 0
2º. Passo: Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores l1 e l2 e os autovetores ortonormais v1 e v2 de
3º. Passo: Obtemos as novas coordenadas. Para isto, precisamos para substituir na equação de = [ I ]
4º. Passo: Substituimos as novas coordenadas na equação, obtendo a equação na nova base {v1, v2}
[x1 y1] + [D E] [ I ] + F = 0
ou seja, l1x12 + l2y12 + ax1 + by1 + F = 0
5º. Passo: Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos. Temos então três casos:
i) l1 e l2 ¹ 0
l1x12 + ax1 + l2y12 + by1 + F = 0
l1 – + l + l2 – + F = 0
Seja x2 = x1 + e y2 = y1 + , temos então l1x22 + l2x22 + f = 0 (que é uma das equações típicas) onde
f = F – –
ii) l1 ¹ 0 e l1 = 0
l1x12 + ax1 + by1 + F = 0
l1 + by1 + F = 0 Tornando x2 = x1 + e y2 = y1, temos l1x22 + by2 + f = 0
(que é uma das equações típicas) onde
f = F –
iii) l1 = 0 e l2 ¹ 0 (similar ao anterior) Como vimos, este procedimento permite-nos, através de uma mudança de referencial, colocar qualquer cônica na forma de uma das equações típicas. Neste processo classificamos a cônica, damos suas dimensões e posições no plano.
Muitas vezes, no entanto, estaremos interessados apenas em classificar a cônica dada por uma equação Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, sem determinar suas dimensões e localização. Visando solucionar este problema de uma forma mais rápida, vamos discutir as possibilidades que temos em função dos sinais doas autovalores associados à forma quadrática. Consideremos, portanto, os autovalores l1 e l2 de . Como já vimos, obteremos depois da eliminação do termo misto uma equação da forma (*) l1x12 + l2y12 + ax1 + by1 + F = 0
(I) Vamos analisar inicialmente a situação em que l1 ¹ 0 e l2 ¹ 0. Neste caso, através de uma translação que é feita no 5º. Passo, obtemos
l1x22 + ly22 + f = 0
Note que se:
i) l1 e l2 forem ambos positivos, teremos f < 0 uma elipse; para f = 0 teremos um ponto (x2 = y2 = 0) e para f > 0 teremos o conjunto vazio. ii) Se l1 e l2 forem ambons negativos, também teremos uma elipse, um ponto ou vazio, conforme f seja positivo, nulo ou negativo. iii) Se l1 e l2 tiverem sinais opostos, poderemos ter uma hipérbole, quando f ¹ 0, ou um par de retas concorrentes se f = 0.
(II) Consideremos agora a situação em que l1 = 0 (e, portanto l2 ¹ 0). Como vimos, partindo da equação (*), chegamos a sua equação. l2y22 + ax2 + f = 0
Note que:
i) se a ¹ 0, teremos uma parábola. ii) Se a = 0, poderemos ter um par de retas paralelas, uma reta ou o vazio.
(III) O caso em que l2 = 0 é discutido de maneira análoga ao (II).
Podemos resumir os resultados até aquí obtidos no seguinte teorema:
Teorema: Dada uma cônica definida pela equação (*) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Seja l1 e l2 os autovalores associados à sua forma quadrática; então: i) Se l1 . l2 > 0 esta equação representa uma elipse, ou suas degenerações (um ponto ou o vazio) ii) Se l1 . l2 < 0 esta equação representa uma hipérbole ou sua degeneração (par de retas concorrentes). iii) Se l1 . l2 = 0 esta equação representa uma parábola ou suas degenerações (par de retas paralelas, uma reta ou o vazio).
Podemos afirmar que o determinante associado à forma quadrática é igual ao produto de seus autovalores l1 . l2. Assim o sinal de l1 . l2 é o mesmo de , que por sua vez tem o mesmo sinal de – (B2 – 4AC). Podemos assim reescrever o teorema anterior em função do “discriminante” B2 – 4AC.
Teorema: Dada a equação: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, esta equação no plano representará:
i) uma elipse ou suas degenerações, se B2 – 4AC < 0 ii) uma parábola ou suas degenerações, se B2 – 4AC = 0 iii) uma hipérbole, se B2 – 4AC > 0
QUÁDRICAS EM R3
Definição: Uma quádrica em R3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 com A ou B ou C ou D ou E ou F ¹ 0.
Exemplos
Elipsóide
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas
Parabolóide elíptico
Parabolóide hiperbólico
Cone quadrático
Cilindro
Se nenhum termo com z aparece na equação da quádrica, temos o cilindro. O cilindro “padrão” é formado por retas ortogonais ao plano z = 0 que passam por uma cônica neste plano. Por exemplo:
a) Cilindro elíptico
b) Cilindro hiperbólico
c) Cilindro parabólico
A equação que define a quádrica pode representar o conjunto vazio (x2 = –1) , um ponto (x2 + y2 + z2 = 0), uma reta (x2 + y2 = 0), um plano (z2 = 0), dois planos paralelos (z2 = 1) ou dois planos que se inteceptam (xy = 0). Estes casos são denominados degenerados. Quando nos é dada uma equação do 2º. Grau em x, y, z, e precisamos saber que figura ela representa em R3 (classificar a quádrica) procedemos de modo análogo à situação em R2, reduzindo a equação e interpretando-a no final.
Exemplo:
Para classificar a quádrica
–x2 + 2yz + z – y = 100
escrevemos a equação acima na forma matricial, obtendo:
[x y z] + [0 –1 1] = 100
Calculando os autovalores e os autovetores já normalizados da matriz
obtemos:
para l1 = –1; v1 = (1, 0, 0) e v2 = e para l2 = 1; v3 =
Temos ainda
= [ I ]
onde
[ I ] =
Então a equação da quádrica em relação ao referencial dado pelos autovetores será:
[x1 y1 z1] + [0 –1 1] = 100
Isto é,
x12 – y12 + z12 – y1 = 100
Faremos agora uma nova mudança de coordenadas para eliminar os termos lineares onde isto é possível.
Z12 = x12 – + – 100 = 0
Seja x2 = x1, y2 = y1 + e z2 = z1; assim, temos a seguinte equação:
– – + = 1
que representa a quádrica em relação ao referencial obtido por translação a partir daquele dos autovetores, cuja origem é dada por x2 = 0, y2 = 0 e z2 = 0. Então
x1 = 0, y1 + = 0 e z1 = 0
Comparando a equação obtida com as equações das quadráticas vemos que esta quádrica é um hiperbolóide de duas folhas.
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo. Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse. Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem candeiros, lanternas, etc... O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som. 
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível, na horizontal. Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superficie. 
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória. Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajectórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias eliptícas e as parabólicas são quase indiscerniveis, pelo que, pode-se facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja a abertura está inclinada para cima. A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil. No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos eletrons em torno do núcleo são elípticas.  Fazendo uso da propriedade reflectora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por reflectirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor. De faco, as propriedades reflectoras das cônicas, e não somente as da parábola, tem contribuido para a construção de telescópios, antenas, radares, farois, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade reflectora, pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os oculos graduados, as lupas e os microscópios.
 A partir da propriedade reflectora das parábolas, os engenheiros civis construiram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
 As extremidades das asas do famoso avião britanico spitfire, usado com grande sucesso na I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuia a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo. O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construido apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses.
Bibliografia: - Matemática temas e metas vol. 5 – Geometria Analítica e Polinômios Antonio dos Santos Machado Atual Editora
- Algebra linear 3ª edição Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Ed. HABRA
- UFMG – Departamento de matemática http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
- Universidade de Coimbra – Departamento de matemática
http://www.mat.uc.pt/~ed9702/conicas/
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