Permutação Simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

... ...

p m-p+1

... ...

m-2 3

m-1 2

m 1

No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...3.2.1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!

0! = 1

Exemplo: De quantas formas podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,

MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,

MAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}