Progressão Geométrica (P.G)

I - Introdução: Um outro tipo de seqüência muito comum em nossos desafios são as P.G.’s . Elas tratam de seqüências que podem representar crescimento de populações, cálculos de juros compostos, nascimento de novos galhos em uma árvore e tudo que aumente ou diminua segundo uma constante, a razão. Veremos que esta seqüência é “ mais rápida ” que a P.A tanto no crescimento como no decrescimento, pois sua razão é obtida pela divisão do termo pelo seu antecessor.

II – Formulário:

1^o – Termo Geral:

an = a₁ . q^n-1

an = Termo geral

a1= 1º Termo

n = Número de termos

q = Razão

OBS:

2 ^o - Propriedades:

1º) q = (a₂/ a₁) = (a_{3 /}a₂ ) = (a_{4 /} a₃)= constante

2º) a₂²= a₁. a₃

OBS:Se a_{1 =}q temos ainda: a₁ . a₃ = a₄

a₁. a_{3 .} a_{4 =} a₈

_{1+3+4=8 8}

( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais )

3 ^o - Fórmula da Soma dos termos de uma P.G

a) P.G Finita: ( limitada)

S_n = [ a_{1
.}(qⁿ- 1)] / q - 1

b) Limite da soma de uma P.G infinita : (ilimitada)

S_n = a₁/ 1-q

O mais utilizado é o limite da soma da P.G infinita.

Os alunos confundem muito quando é necessário utilizar o termo geral ou a soma dos termos.

A dica é:

Para guardar pense a_né “ local ”

S_n é “ total ”

Numa seqüência, o termo geral fornece o valor naquela posição e a fórmula da soma fornece a soma de todos os termos, incluindo o daquela posição (limitada)

Ex.: no crescimento de uma comunidade que se comporta como P.G, o número de pessoas que nascem em determinado ano é obtido pelo a_ne o total de pessoas até aquele ano, incluindo aquele ano é o S_n.

4 ^o – Produto dos termos de uma P.G. finita:

P_n = a₁ⁿ. q ^n.(n-1)/2

OBS : A P.G pode ser aplicada para cálculos de matemática financeira quando se tratar de “juros sobre juros”, ou seja, juros compostos.

Ex. : Um valor V é aplicado a juros de 10% ao mês. Sendo juros compostos.

1º mês: a₁= V

2º mês: a₂= 1,1V q = 1,1

3º mês: a₃= 1,21V

4º mês: a₄= 1,331 V q = 1,1

5º mês: a₅= 1,4641V

O termo geral fornece o valor acumulado ( valor + juros) e q é ( 1 – a taxa ) se for desconto ou ( 1 + a taxa ) se for aumento.

Alguns sistemas básicos de P.A e P.G

1º) Sendo o 5º termo igual a 25 e o 12º termo igual a 60. Calcular a razão:

a₁₂ = a₅ + 7r

60 = 25 + 7r

60 – 25 = 7r

35 = 7r

7r = 35 r = 5

2º) Sendo a soma do 4º termo com o 7º termo igual a 24 e a soma do 3º termo com o 10º termo igual a28.

Calcule o 1º termo e a razão :

a₄ + a₇ = 24 a₁ + 3r + a₁ + 6r = 24 2 a₁ + 9r = 24 . ( -1 ) - 2 a₁ – 9r = - 24

a₃+ a₁₀ = 28 a₁ + 2r + a₁ + 9r = 28 2 a₁ + 11r = 28 2 a₁ + 11r = 28

2r = 4 r = 2 razão

substituindo , r = 2, temos: 2 a₁ + 11r = 28

2 a₁ + 11.2 = 28

2 a₁ = 28 – 22

a₁ = 6/2 = 3

a₁ = 3

1^o termo

3º) O 4º termo é 24 e o 7º é 192. Calcule o valor da razão :

a₇ = a₄ + 3r

192 = 24 + 3r

192 – 24 = 3r

168 = 3r

r = 168 / 3

r = 56

4º) A soma do 3º termo de uma P.G com o 5º é 180 e a soma do 4º termo com o 6º termo é 540. Calcule a razão:

I ) a₃ + a₅ = 180 a₁.q² + a₁.q⁴ = 180

II ) a₄ + a₆ = 540 a₁.q³ + a₁.q⁵ = 540 q.( a₁.q² + a₁.q⁴ ) = 540

Dividindo o II por I : q = 540/180 q = 3