O Número PI - Matemática

A partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.

O QUE É "PI" ???

"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).

Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.

Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.

Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.

HISTÓRIA:

Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".

Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.

Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).

Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.

Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.

Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.

O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.

A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.

O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).

Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.

Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.

Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).

POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?

Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.

POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?

Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...

Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.

Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..

Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.

O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.

SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?

O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .

Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.

Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:

Rad. U

1 ____________ R

X ____________ 2p R

\ X= rad.

X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.

Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:

a º / 360º = b rad. / 2p rad.

( se forem medidas do mesmo arco)

Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.

FACILITANDO CÁLCULOS

O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p² / 6 . A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p².

Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.