Polígonos - parte 1

Ângulo diedro ou diedro ou ângulo diédrico é a reunião de dois semiplanos de mesma origem, não contidos num mesmo plano.

A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces.

Podemos estender a definição acima para termos o diedro nulo, quando suas faces são coincidentes e raso se suas faces são semiplanos opostos.

Características

O interior de um diedro é convexo.

Os pontos do interior de um diedro são pontos internos ao diedro. 

A reunião de um diedro com se interior é um setor diedral ou diedro completo, também conhecido por diedro convexo. 

O exterior de um diedro é côncavo. 

Os pontos do exterior de um diedro são os pontos externos ao diedro. 

A reunião de um diedro com seu exterior é também conhecida por diedro côncavo.

Secções 

Secção de um diedro é a intersecção do diedro com um plano secante à aresta.

Propriedades 

Duas secções paralelas de um diedro são congruentes. 

As secções são dois ângulos de lados com sentidos respectivamente concordantes e, portanto, elas são congruentes.

Secção Reta ou Normal 

É a secção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro.

Propriedades 

Secções normais de um mesmo diedro são congruentes. 

De fato as secções normais de um mesmo diedro são paralelas e, portanto, congruentes.

Natureza 

Reto: Um diedro é reto se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo reto. 

Agudo: Um diedro é agudo se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo agudo. 

Obtuso: Um diedro é obtuso se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo obtuso. 

Adjacentes: Dois diedros são adjacentes se, e somente se, suas secções normais forem ângulos adjacentes. 

Opostos: Dois diedros são opostos pela aresta se, e somente se, as Pela Aresta secções normais forem ângulos opostos pelo vértice.
 

Dadas três semi-retas V_a, V_b, V_c, de mesma origem V, não coplanares, consideremos os semi-espaços e₁, e₂, e₃, como segue: 

e₁, com origem no plano (bc) e contendo V_a; 
e₂, com origem no plano (ac) e contendo V_b; 
e₃, com origem no plano (ab) e contendo V_c. 

Triedro determinado por V_a, V_b, V_c é a intersecção dos semi espaços e₁, e₂ e e₃. 

Sob uma outra orientação, a figura geométrica definida acima é chamada setor triedral ou ângulo sólido de três arestas. Seguindo essa orientação, o triedro é a reunião dos três setores angulares definidos por V_a, V_b e V_c. 

Elementos 

V é o vértice. 

V_a, V_b, V_c são as arestas. 

di(a), di(b), di(c) são os diedros do triedro. Cada um deles é determinado por duas faces do triedro. 

O triângulo ABC com um único vértice em cada aresta é uma secção do triedro. 

Um triedro notável é aquele cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros retos. Esse triedro é chamado triedro tro-retângulo (ou triedro tri-retangular). 

Natureza 

Polar: Um triedro é polar de outro se, e somente se, tem o mesmo vértice do outro, se suas arestas são respectivamente perpendiculares aos planos das faces do outro e se formam ângulos agudos com as arestas correspondentes do outro.
 

Superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos (ou regiões poligonais convexas), tais que:  

a) dois polígonos não estão num mesmo plano;   

b) cada lado de polígono não está em mais que dois polígonos;   

c) havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;   

d) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).  

As superfícies poliédricas  limitadas convexas que têm contorno são chamadas abertas. As que não tem contorno são chamadas fechadas.   

Uma superfície poliédrica limitada convexa aberta ou fechada não é uma região convexa.   

Chamamos de Poliedro Convexo o polígono plano convexo (ou região poligonal convexa) com um número finito n (n  4) tal que dois polígonos não estão num mesmo plano, cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos e o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço.  

Nessas condições, ficam determinados n semi-espaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A intersecção desses semi-espaços é o poliedro convexo. 

Elementos  

Uma superfície poliédrica limitada convexa tem:   

Faces: São os polígonos;   

Arestas: São os lados dos polígonos;  

Vértices: São os vértices dos polígonos;  

Ângulos: São os ângulos dos polígonos.   

Um poliedro convexo tem:   

Faces: São os polígonos convexos;  

Arestas: São os lados dos polígonos;   

Vértices: São os vértices dos polígonos.  

Natureza   

Poliedro Euleriano: Os poliedros para os quais vale a relação de Euler ( V – A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F o número de faces do poliedro), são chamados poliedros eulerianos. 

Poliedro de Platão: Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, todas as suas faces têm o mesmo número (n) de arestas, se todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas e se vale a relação de Euler.

Para facilitar a compreensão, relaciono abaixo os valores de m, n, A, V e F dos poliedros de Platão:

Consideremos uma região poligonal convexa plana (polígono plano convexo) A₁ A₂ … A_n de n lados e uma reta r não paralela nem contida no plano da região (polígono). Chama-se prisma ilimitado convexo ou prisma convexo indefinido à reunião das retas paralelas a r que passam pelos pontos da região poligonal dada. Se a região poligonal (polígono) A₁ A₂ … A_n for côncava, o prisma ilimitado resultará côncavo.   

Ao considerarmos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABCD…MN situado num plano a e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta o plano a. Chama-se prisma (ou prisma convexo) à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a , com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por a.

como uma reunião da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas, com essas secções.  

Elementos  

Um prisma ilimitado convexo possui: n arestas, n diedros e n faces (que são faixas de plano).  

Um prisma convexo possui:   

Bases: Duas bases congruentes (as secções citadas acima);  

Faces Laterais: n faces laterais (paralelogramos);  

Faces: ( n + 2 ) faces;  

Arestas Laterais : n arestas laterais;  

Arestas: 3n arestas;   

Diedros: 3n diedros;   

Vértices: 2n vértices;  

Triedros: 2n triedros.

Secção   

Secção de um prisma é a intersecção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais. Notemos que a secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral.   

Secção Reta ou Secção Normal é a secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.  

Natureza  

Prisma Reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares oas planos das bases. Num prisma reto as faces laterais são retângulos. Prisma Oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Prisma Regular é um prisma cujas bases são polígonos regulares.   

Um prisma será tringulas, quadrangular, pentagonal, etc., conforma a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.  

Paralelepípedos e Romboedros   

Paralelepípedo: É um prisma cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis paralelogramos.   

Paralelepípedo Reto: É um prisma reto cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo reto é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).    

Paralelepípedo Reto-Retângulo ou Paralelepípedo Retângulo ou Ortoedro É um prisma reto cujas bases são retângulos. A superfície total de um paralelepípedo retângulo é a reunião de seis retângulos.   

Cubo: É um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes.   

Romboedro: É um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro é a reunião de seis losangos.   

Romboedro Reto: É um paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro reto é a reunião de quatro quadrados (faces laterais) com dois losangos (bases).