Polígonos - parte 2

Definição 

Consideremos uma região poligonal plano-convexa (polígono plano-convexo) A₁ A₂ … A_n de n ladose um ponto V fora de seu plano. Chama-se pirâmide convexa indefinida (ou ângulo poliédrico ou ângulo sólido) à reunião das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos da região poligonal (polígono) dada. Se a região poligonal (polígono) A₁ A₂ … A_n for côncava, a pirâmide ilimitada resulta côncava. 

Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABC…MN situado num plano a e um ponto V fora de a. Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. 

V é o vértice e o polígono ABC…MN, a base da pirâmide. 

Podemos, também, definir pirâmide como segue: Pirâmide Convexa Limitada ou Pirâmide Convexa é a parte da pirâmide ilimitada que contém o vértice quando se divide essa pirâmide pelo plano de uma secção, reunida com essa secção.

Elementos 

Uma pirâmide ilimitada convexa possui: 

Arestas: n arestas 

Diedros: n diedros 

Faces: n faces (são os ângulos ou setores angulares planos). 

Uma pirâmide convexa possui: 

Bases: Uma base (a secção acima citada) 

Faces Laterais: n faces laterais (Triângulos) 

Faces: (n + 1) faces 

Arestas Laterais: n arestas laterais 

Arestas: 2n arestas 

Diedros: 2n diedros 

Vértices: (n + 1) vértices 

Ângulos Poliédricos: (n + 1) ângulos poliédricos 

Triedros: n triedros 

A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base. 

Para uma pirâmide, a relação de Euler também é válida.

Secções 

É uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada aresta.

Natureza 

Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Chama-se apótema de uma pirâmide regular à altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral. Tetraedro é uma pirâmide triangular. Tetraedro regular é um tetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si. 

Uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.

Definição 

Superfícies regradas desenvolvíveis cilíndricas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz) que se mantém paralela a uma reta dada r (direção) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz). São superfícies regradas por serem geradas por retas e desenvolvidas por poderem ser aplicadas, estendidas ou desenvolvidas num plano (planificadas) sem dobras ou rupturas. Superfície cilíndrica de rotação ou revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g paralela e distinta da reta e. Considera-se que cada ponto da geratriz descreve uma circunferência com centro no eixo e cujo plano é perpendicular ao eixo. A superfície cilíndrica de revolução de eixo e, geratriz g e raio r é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância dada (r) de uma reta dada (e). Chamamos de cilindro circular ilimitado ou cilindro circular indefinido à reunião das retas paralelas a s e que passam pelos pontos do círculo. 

Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r, situado num plano a, e um segmento de reta PQ, não nulo, não paralelo e não contido em a. Chama-se Cilindro circular ou cilindro à reunião dos segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por a. Também podemos definir cilindro como a reunião da parte do cilindro circular ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções circulares paralelas e distintas em relação a essas secções..

Elementos 

Um cilindro possui: 

Bases: Duas bases em forma de círculos, congruentes e situados em planos paralelos (as secções citadas acima)

Geratrizes: São os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferência de centro O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r. 

Raios: r é o raio da base

Superfícies 

Superfície lateral: é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A_l. Superfície Total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é a área total e indicada por A_t.

Natureza

Se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases, temos o cilindro circular oblíquo. Se são perpendiculares aos planos das bases, temos o cilindro circular reto. O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém seus lados. O cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado, onde g = h = 2r. 

Secção meridiana é a intersecção do cilindro com um plano que contém a reta OO’ determinada pelos centros das bases. A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo.

Definição 

Superfícies regradas desenvolvíveis cônicas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz), passando por um ponto dado V (vértice) e que percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), com V fora de d. Superfície cônica de rotação ou revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g oblíqua ao eixo e. O vértice (V) é a intersecção das retas g e e. Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido à reunião das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos do círculo. 

Agora, consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano a e um ponto V fora de a. Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e outra nos pontos do círculo. A definição de cone também pode ser expressa como uma parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção.

Elementos 

O cone possui: 

Bases: Uma base – círculo de centro O e raio r ou a secção citada acima 

Geratrizes: São os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência base 

Vértices: O ponto V citado acima 

Raio: r é o raio da base 

Altura: Distância entre o vértice e o plano da base 

Eixo: é a reta determinada pelo vértice e pelo contro da base 

Apótema: é a geratriz de um cone circular reto

Superfícies 

Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A_l. Superfície total é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área total dessa superfície é chamada área total e indicada por A_t.

Natureza 

A natureza dos cones é definida pela posição da reta VO em relação ao plano da base. Se esta reta é oblíqua ao plano da base, temos um cone circular oblíquo. Se a reta VO é perpendicular ao plano da base, temos o cone circular reto. Este cone também é chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos. Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero . 

A Secção meridiana de um cone é a intersecção do cone com um plano que contém a reta VO. A Secção meridiana de um cone de revolução é um triângulo isósceles.

Definição 

Consideremos o ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância  seja menor ou igual a r. 

Esfera também é o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Elementos 

Pólos relativos a uma secção da esfera são as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano desta secção. 

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: 

Pólos: São as intersecções da superfície com o eixo 

Equador: É a secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície 

Paralelo: É uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “paralela” ao equador 

Meridiano: É uma secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo 

Distância Polar: É a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo 

Fuso Esférico: É a intersecção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica 

Cunha Esférica: É a intersecção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém o diâmetro da esfera.

Natureza 

Por natureza, a esfera sempre será um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro, como já foi dito anteriormente.

Secção 

Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da secção, temos a relação: . Rearranjando esta equação, é fácil chegar na bem conhecida , que é o famoso e muito utilizado Teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo OMA, onde O é o centro da esfera, M é a projeção perpendicular do centro O no plano secante e A é o ponto de intersecção do plano com a superfície da esfera.

Superfície 

Chama-se de superfície de uma esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r.

A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.

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