1. POLINÔMIOS

1.1 Definição:

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R->R definida por: p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a_nxⁿ, onde a₀, a1, a2,..., an são números reais denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a₀ é o termo constante. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R-->R definida por: f(x) = ax² + bx + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. 

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo 01: O valor numérico de p(x) = 2 x² + 7x -12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2(3)² + 7(3) - 12 = 2(9) + 21 -12 = 18 + 9 = 27

Exemplo 02:

P(x) = x⁵ + 3x² - 7x + 6 (a₀ = 1, a₁ = 0, a₂ = 0, a₃ = 3, a₄ = -7 e a₅ = 6). 
O grau de P(x) é igual a 5.

Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:

·         Binômio: possuem dois termos. Exemplo: r(x) = 3x + 1 (grau 1).

·         Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo: q(x) = 4x² + x - 1 (grau 2).

A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica: polinômios.

2. GRAU DE UM POLINÔMIO E IDENTIDADE DE POLINÔMIOS.

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante, e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante.

O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante. Acerca do grau e identidade de um polinômio, existem várias observações importantes:

2.1. Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo): é aquele cujo valor numérico é igual à zero para todo valor da variável x. Indicamos P=0 (polinômio nulo).

·         Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo, se faz necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero).

2.2. Polinômios idênticos ou polinômios iguais: dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)ºB(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Exemplo: Calcular a, b e c, sabendo-se que x²-2x+1 º a (x²+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo

membro temos: x²-2x+1 º ax²+ax+a+bx²+bx+cx+c.

1x²-2x+1 º (a+b)x²+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes e substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2 => c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Notas:

·         Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo.

·         Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.

·         Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

·         Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

·         Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

·         Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

·         Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

·         É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

3. VALOR NUMÉRICO.

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio.

Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x³+2x²+x-4

P(2)= 2³+2.2²+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x²-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

1º) Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)=x³+4x²-ax+1, calcular o valor de a:

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)² -a.(-3)+1 = 0

3a = -10 => a= -10/3

Resposta: a= -10/3

4. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
 

4.1 Soma / Subtração de Polinômios

Da álgebra elementar, temos que só podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termos que possuam expoentes iguais.

Exemplo 01: P(x) = 3x⁴ - 7x³ + 5x² + 12x - 8 Q(x) = x⁴ - 12x² + 7x + 2 P(x) +  Q(x) = 4x⁴ - 7x³ - 7x² + 19x - 6 P(x) -  Q(x) =  2x⁴ - 7x³ + 17x² + 5x -10.

Exemplo 02:

a) P(x) = 2x⁴ + 3x² - 7x + 10 ® S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.

b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x¹⁵⁶ + x?

Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1¹⁵⁶ = 1).

IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)ⁿ, denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727). Ainda assim, a propriedade anterior é válida, por exemplo: qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = (2x - 3)¹⁰²?

Substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)¹⁰² = (2-3)¹⁰² = (-1)¹⁰² = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).

Exemplo 03:

Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)⁴?

Para x = 1: S = T(1) = (5.1 + 1)⁴ = 6⁴ = 6.6.6.6 = 1296.

4.2 Multiplicação de Polinômios.

Exemplo:

(2x² - 7x + 4). (x³ + 2x) = 2x⁵ + 4x³ - 7x⁴ - 14x² + 4x³ + 8x.

4.3 Divisão de Polinômios.

Método da chave:

Exemplo:

Assim o Q(x) =  é o quociente da divisão e R(x)= 9/4 é o resto.

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo, significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x). Q(x) + R(x). (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4 \ 46 = 6.7 + 4).

2) gr R(x) < gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio.

3) Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verifica-se que:

Notas:

1) Se R(x) = 0, então dizemos que P(x) é divisível por D(x).

2) Se gr P > gr D então gr (P: D) = gr P - gr D.

3) Se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x).

4) Não esquecer que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.

5. DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM BINÔMIO DA FORMA AX+B

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.

Utilizando o método da chave:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

6. DIVISÃO DE UM POLINÔMIO PELO PRODUTO (X-A) (X-B).

Calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.

Tem-se: a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2) e para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d

Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo: x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)                   x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5, resolvendo o sistema obtém-se:

Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r1 =0

P(b)= r2 =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b).

7. TEOREMA DO RESTO.
Pode-se escrever:
6x³ – 5x² – 17x – 1 = (x – 2) (6x² + 7x – 3) – 7

Calcular o valor numérico do polinômio quando x = 2.

Pode-se fazê-lo de duas maneiras:

Primeira:

6x³ – 5x² – 17x – 1
Fazendo x = 2 tem-se:
6 X 2³ – 5 X 2² – 17 X 2 – 1 = 48 – 20 – 34 – 1 = – 7

Segunda:

(x – 2) (6x² + 7x – 3) – 7
(2 – 2) X (6 X 2² + 7 X 2 – 3) – 7 = 0 – 7 = – 7

Com estes exemplos pode-se comprovar que o valor numérico de um polinômio, quando x = 2, coincide com o resto da divisão desse polinômio por x – 2.

Esta conclusão remete a um importante teorema: o Teorema do Resto, que pode ser genericamente enunciado como: o valor numérico de um polinômio quando x = a é igual ao resto da divisão deste polinômio por x – a.

8. TEOREMA DE D’ALEMBERT.

Conseqüência: Se P(a) = 0, então R = 0 (R=resto) e portanto , P(x) é divisível por x - a. Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert (1717 - 1783), célebre matemático francês, que teve o seu no nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, perto da NotreDame de Paris, em cujos degraus, foi encontrado abandonado quando criança).

Exemplo:

Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta: p=19.

9. DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI.

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x³-5x²+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da "cerquinha".

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

10. DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES.

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax²+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

Exemplos:

Fatorar o polinômio P(x)=x²-4.

Resolução: Fazendo x²-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.

Logo: x²-4 = (x-2)(x+2).

Fatorar o polinômio P(x)=x²-7x+10.

Resolução: Fazendo x²-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.

Logo: x²-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x³-x²-x.

Resolução: 2x³-x²-x = x.(2x²-x-1) à colocando x em evidência

Fazendo x.(2x²-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x²-x-1=0.

Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x² -x -1=0 => r₁=1 e r₂=-1/2.

Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Observações: Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. Uma raiz r₁ do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r₁)² e não por (x-r₁)³.

11. RELAÇÕES DE GIRARD -  ALBERT GIRARD (1590-1633).