POLINÔMIOS

·        Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=a_nxⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x + a₀.

Onde:

a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₂, a₁, a₀ são números reais chamados coeficientes.

n Î IN

x Î C (n^os complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a_n¹0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:

a)     P(x)=5 ou P(x)=5.x⁰ é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b)    P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c)     P(x)=4x⁵+7x⁴ é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

·        Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x³+2x²+x-4

P(2)= 2³+2.2²+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x²-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x³+4x²-ax+1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0  => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0

3a = -10  =>  a=-10/3

Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m Î IR para que o polinômio

P(x)=(m²-1)x³+(m+1)x²-x+4 seja:

a) do 3ºgrau               b) do 2º grau                  c) do 1º grau

Resposta:

a)    para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então:

m²-1¹0  =>  m²¹1  => m¹1

m+1¹0  => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 3º grau se m¹1 e m¹-1.

b)    para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:

m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1

m+1¹0  => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c)     para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então:

m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1

m+1=0  => m=-1

Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.

Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).

Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0  => (1)³+a.(1)²+b(1)+c = 0  =>  1+a+b+c=0  => a+b+c=-1

P(2)=0  => (2)³+a.(2)²+b(2)+c = 0  =>  8+4a+2b+c=0  => 4a+2b+c=-8

P(3)=30  => (3)³+a.(3)²+b(3)+c = 30  =>  27+9a+3b+c=30  => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9,  b=-34,  c=24

Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.

O problema pede P(-1):

P(-1)= (-1)³+9(-1)²-34(-1)+24  =>  P(-1)=-1+9+34+24

P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66

·        Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)ºB(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Exemplo:

Calcular a,b e c, sabendo-se que x²-2x+1 º a(x²+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:

x²-2x+1 º ax²+ax+a+bx²+bx+cx+c

1x²-2x+1 º (a+b)x²+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2  =>  c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:

a-3=1  =>  a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:

4+b=1  =>  b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.

·        Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verificamos que:

·        Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.

Utilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0  => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

·        Teorema do resto

 Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0  =>  x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

·        Teorema de D’Alembert

 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

     P(2)=0  =>  2.8+5.4-2p+2=0  =>  16+20-2p+2=0  =>  p=19

Resposta: p=19.

·        Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r₁ e r₂.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r₁          (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r₂         (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)          (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a  =>  P(a) = c(a)+d          (eq. 4)

x=b  =>  P(b) = c(b)+d          (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r₁ =0

P(b)= r₂ =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

     Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a₁), (x-a₂),..., (x-a_n) então P(x) é divisível pelo produto (x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n).

Exemplo:

Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6          (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8         (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)          (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0  =>  P(0) = a(0)+b  =>  P(0) = b            (eq. 4)

x=1  =>  P(1) = a(1)+b  =>  P(1) = a+b        (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Logo, b=6 e a=2.

Agora achamos o resto:  R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.

·        O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x³-5x²+x-2 por (x-2).

Resolução: 

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.