Matemática

Potenciação: Como Resolver e Propriedades

Potência é uma forma simplificada de expressar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais. A base são os fatores da multiplicação e o expoente é o número de vezes que a base é multiplicada.

Seja a um número real e n um número natural maior que 1. Potência de base a e expoente n é o produto de n fa­tores iguais a a. Representa-se a potência pelo símbolo an.

Assim:

Definição de potência

Para expoente ZERO e expoente UM, adotam-se as seguintes definições: a0 = 1   e   a1 = a

Seja a um número real, não-nulo, e n um número natural. A potência de base a e expoente negativo -n é definida pela relação:

Potência de base a e expoente negativo

RESOLVENDO OS EXERCÍCIOS:

1. Calcular: 23; (-2)3 ;-23

Resolução
a) 23 = 2 . 2 . 2 = 8
b) (- 2)3 = (- 2) . (- 2) . (- 2) = – 8
c) -23 = -2.2.2 = -8
Resposta: 23 = 8; (- 2)3 = – 8; – 23 = – 8

2. Calcular: 24; (- 2)4; – 24

Resolução
a) 24 = 2 .2. 2. 2 = 16
b) (-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = 16
c) -24 = -2.2.2.2=-16
Resposta: 24 = 16; (- 2)4 = 16; – 24 = -16

3.  Calcular:

Resolução

b)   (0,2)4 = (0,2) . (0,2) . (0,2) . (0,2) = 0,0016
c)   (0,1)3 = (0,1). (0,1) .(0,1) = 0,001

Respostas:

4. Calcular: 2-3; (- 2)-3; – 2-3

Resolução


Resposta: 2-3 = 0,125; (- 2)-3 = – 0,125; – 2′3 = – 0,125

5. Calcular: 10-1;   10-2;   10-5

Resolução

Resposta: 10-1 = 0,1; 10-2 = 0,01; 10-5 = 0,00001

6. Verificar que: 0,6 = 6. 10-1; 0,06 = 6. 10-2; 0,00031 = 31 . 105; 0,00031 = 3,1 . 10-4

Propriedades da Potenciação

Sendo a e b números reais, m e n números inteiros, valem as seguintes propriedades:

a) Potências de mesma base

Para multiplicar, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Propriedade da potenciação: multiplicação de mesma base

Para dividir, mantém-se a base e subtraem-se os ex­poentes.

Propriedade da potenciação: divisão de mesma base

b) Potências de mesmo expoente

Para multiplicar, mantém-se o expoente e multipli­cam-se as bases.

Propriedade da potenciação: multiplicação de mesmo expoente

Para dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Propriedade da potenciação: divisão de mesmo expoente

Para calcular a potência de outra potência, man­tém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Calcular potência de outra potência

Observações

Se os expoentes forem inteiros negativos, as pro­priedades também valem.

Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem ser diferentes de zero.

As propriedades do item (2) têm a finalidade de facilitar o cálculo. Não é obrigatório o seu uso. Devemos usá-las quando for conveniente.

Exemplos

I) Calcular o valor de 23 . 22 sem usar a propriedade, 23 . 22 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 8 . 4 = 32, dá praticamente o mesmo trabalho que obter este valor utilizando a pro­priedade, 23 . 22 = 23+2 = 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

II) Calcular, entretanto, o valor de 210 ÷ 28 sem usar a propriedade,

210 ÷ 28 = (2.2.2.2.2.2.2.2.2.2) + (2.2.2.2.2.2.2.2) = 1024 / 256 = 4,

é, com certeza, muito mais trabalhoso do que simplesmente usar a propriedade 210 ÷ 28 = 210 -8 = 22 = 4

RESOLVENDO OS EXERCÍCIOS:

7. Verificar, usando a definição de potência, que a3 . a4 = a3+4 = a7.

Resolução
a3 . a4 = (a . a . a). (a . a . a . a) = a . a . a . a . a . a . a = a7

8. Verificar, usando a definição de potência, que para a ? 0

Resolução

9. Verificar, usando a definição de potência, que a3 . b3 = (a . b)3.

Resolução
a3. b3 = (a . a . a). (b . b . b) = (a . b). (a . b). (a . b) = (a . b)3.

10. Verificar que a23 = a8.

Resolução
a23 = a2 . 2 . 2 = a8

11. Sendo n ? N, mostrar que 2n + 2n+1 = 3 . 2n

Resolução
2n + 2n+1 = 2n + 2n . 2 = (1 + 2) . 2n = 3 . 2n

12. Verificar, usando a definição de potência, que para b ? 0

Resolução

Veja também: