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Progressão Aritmética (P.A.)

Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.

Vamos considerar as seqüências numéricas:

a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).

Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:

a2 – a1 = 4 – 2 = 2;     a3 – a2 = 6 – 4 = 2

a5 – a4 = 10 – 8 = 2     a6 – a5 = 12 – 10 = 2 

b)

a2 – a1 = ;

 a3 – a2 =

a4 – a3 =

a5 – a4 =

Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).

Obs.: r = 0 P.A. é constante.
r > 0P.A. é crescente.
r < 0P.A. é decrescente.

De um modo geral temos: 

Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, …, an, …)

a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …= an – an -1 = r

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A

Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, …, an)  de razão r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n – 1 igualdades, obtemos:

 a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ … an -1+ (n-1).r

Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.: an = a1 + (n – 1).r

Nota Importante:Quando procuramos uma progressão aritmética com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

•     Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
•     Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =

•     Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma progressão aritmética de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.

Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.

Ex.: Veja esta P.A. (1, …, 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r  r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A. (Sn)

Vamos considerar a P.A.: (a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an) (1).

Agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, …, a3, a2, a1) (2).

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.

Somando (1) + (2), vem:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +…+ a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) … + (an-1 + a2) + (an + a1)

Observe que cada parênteses  representa a soma dos extremos da progressão aritmética, portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … +(a1 + an) + (a1 + an)

n – vezes

2Sn =  que é a soma dos n termos de uma P.A.

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