Teorema Binominal

 

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos C(m,p) =mp. Então:

 

(a+b)m = am + m1am-1b + m2 am-2b2 + m3 am-3 b3 +...+ mm bm

Alguns casos particulares com m=2,3,4 e 5, são:

 

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 

(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

 

(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4

 

(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

 

Vamos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

 

P(m): (a+b)m = am+m1am-1b +m2 am-2b2 +m3am-3b3+... +mmbm

 

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

 

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

 

P(k):(a+b)k = ak + k1 ak-1b + k2 ak-2b2 + k3 ak-3b3 +...+ kkbk

 

para provar a propriedade P(k+1).

 

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

 

(a+b)k+1 = ak+1 + (k+1)1 akb + (k+1)2 ak-1b2 +...+ (k+1)(k+1)bk+1

 

(a + b)k+1= (a + b).(a + b)k

  (a + b).[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk]

  a.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk] +

b.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk] 

  ak+1 + k1 ak b + k2 ak-1 b2 + k3 ak-2 b3 + ... + kk a bk +

akb + k1 ak-1 b2 + k2 ak-2 b3 + k3 ak-3 b4 + ... + kk bk+1 

  ak+1 + [k1+1] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + ... + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1 

  ak+1 + [k1+k0] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + ... + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1 

 

Pelas propriedades das combinações, temos:

 

k1+k0 = C(k,1) + C(k,0) = C(k+1,1) =(k+1)1

k2+k1 = C(k,2) + C(k,1) = C(k+1,2) =(k+1)2

k3+k2 = C(k,3) + C(k,2) = C(k+1,3) =(k+1)3

k4+k3 = C(k,4) + C(k,3) = C(k+1,4) =(k+1)4

... ... ... ... ... ...

kk-1+kk-2 = C(k,k-1) + C(k,k-2) = C(k+1,k-1) =(k+1)k-1

kk+kk-1 = C(k,k) + C(k,k-1) = C(k+1,k) =(k+1)k

 

E assim podemos escrever:

 

(a+b)k+1 =  ak+1 + (k+1)1 ak b + (k+1)2 ak-1 b2 + (k+1)3 ak-2 b3 +

(k+1)4 ak-3 b4 + ... + (k+1)k-1 a2 bk-1 + (k+1)k a bk + kk bk+1 

 

que é o resultado desejado.