Funções Trigonométricas
Introdução
A palavra trigonometria é formada
por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando
assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da
geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , que a utilizavam
para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura.
Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o
pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações
entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século VIII com o
apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o
avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira
tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado
Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado
dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado
Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a
trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se
estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da
atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a
Topologia, a Engenharia Civil, etc.
Função
seno
Definição
Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o
seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x
O
domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência
trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou
seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Como
seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
Função
cosseno
Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o
cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x.
O
domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência
trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1,
ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem
de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Como
cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
Função tangente
Definição
Chamamos de função tangente
a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½
p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x)
= tg x.
O domínio dessa função é E e
a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x
varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia
de -¥ (menos infinito) até 0(zero)
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x)
= E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x)
= R.
Como tangente x é a ordenada do
ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma
circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco,
com o eixo das tangentes então:
Função secante
Definição
Denomina-se função secante a
função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p
+ kp , onde kÎ Z.
Como a função secante é a
inversa da função cosseno, então os sinais da função secante
são os mesmos da função cosseno.
Função cossecante
Definição
Denomina-se função
cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R
diferente de kp , onde kÎ Z.
Como a função cossecante é a
inversa da função seno, então os sinais da função cossecante
são os mesmos da função seno.
Função cotangente
Definição
Denomina-se função cossecante
a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de
kp , onde kÎ Z.
Como a função cossecante é a
inversa da função seno, então os sinais da função cossecante
são os mesmos da função seno.
Anexos
A
função seno
Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
-
Quando 
,
1º quadrante,
o valor de sen x cresce de 0 a 1.
-
Quando 
,
2º
quadrante,
o valor de sen x decresce de 1 a 0.
-
Quando 
,
3º quadrante,
o valor de sen x decresce de 0 a -1.
-
Quando 
,
4º
quadrante,
o valor de sen x cresce de -1 a 0.
A função cosseno
Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
-
Quando ,
1º quadrante,
o valor do cos x decresce de 1 a 0.
-
Quando ,
2º
quadrante,
o valor do cos x decresce de 0 a -1.
-
Quando ,
3º quadrante,
o valor do cos x cresce de -1 a 0.
-
Quando , 4º
quadrante,
o valor do cos x cresce de 0 a 1.
A
função tangente
Observe que esse gráfico é razoável. De fato:
Em primeiro lugar
ou seja, quando 
,
1º Quadrante,
o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Em segundo lugar,
ou seja, quando 
,
2º
Quadrante,
o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Em terceiro lugar,
ou seja, quando, 
3º
Quadrante,
o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Finalmente,
ou seja, quando ,
4º
Quadrante,
o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Função secante
Temos:
Definição: 
.
Logo, o domínio da função secante é 
.
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos
que, na figura abaixo, para cada 
,
sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do
segmento OT.
Da figura, observamos também que, para todo , 
,
onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função sec é
periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=sec x,
façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja,
conforme x aumenta, y aumenta;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja,
conforme x aumenta, y aumenta;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui.
Observemos que as retas verticais de equação 
,
para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=sec x tem como imagem o intervalo 
.
Ela é uma função
não limitada e
periódica, de período 2p
função cossecante
Temos:
Definição: 
.
Logo, o domínio da função cossecante é 
.
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos
que, na figura abaixo, para cada 
,
cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do
segmento OC.
Da figura, observamos também que, qualquer que seja , 
,
onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é
periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=cossec
x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x
varia:
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja,
conforme x aumenta, y aumenta;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja,
conforme x aumenta, y aumenta;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui.
Observemos que as retas verticais de equação 
,
para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=cossec x tem como imagem o intervalo .
Ela é uma função
não limitada e
periódica, de período 2p.
Evidentemente, uma vez conhecido o gráfico de cada uma das
funções trigonométricas auxiliares, cotangente, secante e
cossecante, é possível, como fizemos no caso das outras
funções trigonométricas, estudar a ação dos parâmetros em
termos de movimentos dos gráficos no plano. Ou seja, de
maneira completamente análoga, poderíamos estudar as funções
mais gerais:
Função cotangente
Temos:
Definição: 
se
sen x ¹0.
Logo, o domínio da função cotangente é .
Propriedade:
Observação:
A propriedade acima só é válida quando os dois termos que
aparecem na igualdade têm sentido, isto é tg x existe e
não é zero e a cotg x existe e não é zero. Assim a
propriedade vale no conjunto 
,
ou seja, sempre que x for diferente de um
múltiplo inteiro de 
.
Também, a partir da circunferência
trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada 
,
cotg x é a medida algébrica do segmento BC.
Da figura, observamos também que, qualquer que seja , 
,
onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cotg é
periódica, de período p.
A fim de esboçar o gráfico de y=cotg x,
façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui;
-
e,
nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou
seja, conforme x aumenta, y diminui;
Observemos que as retas verticais de equação ,
para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=cotg x tem como imagem o intervalo 
.
Ela é uma função
não limitada e
periódica.
Conclusão
Ramo da
matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de
triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana
lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e
a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma
seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria
começa como uma matemática eminentemente prática para
determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente.
Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com
a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a
trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à
química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no
estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o
fluxo de corrente alternada.
Bibliografia
Paiva, Manoel, Matemática,
Volume único, Ed. Moderna, 2003
Barreto Filho, Benigno e Silva,
Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume
único, FTD, 200.
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