Probabilidade

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.

A Estatística, de modo geral, constitui um valioso instrumento para tomada de decisões.

Outra característica da Estatística é o uso de modelos. Estes são formas simplificadas de algum problema ou situação real. A característica fundamental dos modelos é o fato de reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais compreensíveis.

Neste curso, daremos ênfase a teoria da probabilidade como ferramenta para tomada de decisão.

PROBABILIDADE

As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos (No Brasil Bingos) e os esportes organizados. Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje muitas organizações (públicas ou privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações&rdquo.

O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.

As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO.

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.

Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.

Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico.

Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.

Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas.

Podemos considerar como experimentos aleatórios os fenômenos produzidos pelo homem.

Exemplos:

a) lançamento de uma moeda;

b) lançamento de um dado;

c) determinação da vida útil de um componente eletrônico;

d) previsão do tempo.

A cada experimento aleatório está associado o resultado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.

Um conjunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0.

As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.


Exercícios de Probabilidade


Uma urna contém 10 bolas verdes, 8 vermelhas, 4 amarelas,  4 pretas e cinco brancas, todas de mesmo raio. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) não verde b) não-branca ou vermelha, c) vermelha ou preta d) verde, vermelha ou amarela.

Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das três meninas sentarem juntas.

Uma urna contém 15 cartões enumerados de 1 a 15. Um cartão é retirado aleatoriamente. Qual a probabilidade de o número no cartão ser múltiplo de 3?

Joga-se um dado branco e um dado preto. Calcule a probabilidade de:

Ocorrer soma 6 b) ocorrer soma 11  c) ocorrer soma 2 d) não ocorrer nem soma 2 e nem 8.

Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de:

(Sair uma carta vermelha b)sair uma carta de copas c) sair um rei ou uma carta de copas.

Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1,2,3,...,30. Qual a probabilidade de:

o número ser divisível por 3     b) o número ser divisível por 5   c) o número ser divisível por 5 ou por 3 d) o número não ser divisível nem por 3 e nem por cinco.

Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna que contém 20 alaranjadas, 7 verdes , 10 pretas e 5 brancas. Qual a probabilidade delas serem:

a) Alaranjadas b) pretas c) verdes d) brancas e) ambas da mesma cor f) pelo menos uma preta

Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem retiradas dessa urna 2 bolas sucessivamente, ou seja, não sendo as bolas recolocadas, depois retiradas, qual a probabilidade de que ambas sejam brancas?

Sejam os eventos A, B e C. encontre uma expressão e mostre o diagrama de Venn para o evento em que:

Exatamente um dos eventos ocorre, b) pelo menos um evento ocorre, c) nenhum evento ocorre, d) A ou B ocorre, mas C não.

Lance duas moedas e um dado. Qual a probabilidade de aparecerem duas caras e um número par?

Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Se esta moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer cara apenas uma vez?

Das 8 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) ambas terem olhos azuis, b) nenhuma ter olhos azuis, c) pelo menos uma ter olhos azuis?

Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca.

De 120 estudantes, 70 estudam matemática, 80 estudam português e 40, matemática e português. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade dele:

a) Estudar matemática ou português ,b) só estudar português  ,c) só estudar matemática , d) não estudar matemática , e) não estudar nem português e nem estudar matemática.

Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo?

Três moedas não viciadas são lanças. Se ocorrem caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente duas coroas.

Um par de dados é lançado. Se ocorrem números diferentes, encontre a probabilidade de a soma ser um número primo.

Um homem tem em sua mão quatro cartas vermelhas. Qual a probabilidade de elas serem todas do mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?

Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. Se a soma é ímpar, qual a probabilidade do número 2 ser um dos números selecionados?

Numa classe há 10 meninos e 15 meninas. Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade: a) dos dois primeiros serem meninos e o terceiro menina, b) do primeiro e do terceiro serem meninos, c)  do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo do sexo oposto.

Numa certa cidade 40% da população gostam de futebol, 25% gostam de telenovela e 15% de ambos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente:

a)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de também gostar de telenovela.

b)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de não gostar de telenovela.

c)Qual a probabilidade de não gostar nem de futebol e nem de telenovela.

Em certo colégio, 25% dos meninos e 10% das meninas estão estudando informática. As meninas constituem 40% do corpo de estudantes. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e está estudando  informática. Qual a probabilidade de ele ser um menino?

São dadas as urnas:

  • A urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis.
  • A urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas.

Lança-se um dado honesto; ocorre-se 4 ou 6, uma bola é escolhida de A, caso contrário uma bola é escolhida de B. Encontre a probabilidade de: a) uma bola vermelha ser escolhida , b) uma bola branca ser escolhida , c) uma bola azul ser escolhida. d) Se uma bola vermelha é escolhida, qual a probabilidade de ter vindo da urna A?

Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas bolas da outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola então é selecionada. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor?

A urna I contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a urna II contém 2 bolas brancas e 6 vermelhas.

Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?

Uma caixa contém 3 bolas azuis e 5 vermelhas, e outra caixa contém 8 bolas azuis e 7 vermelhas. Extrai-se ao acaso uma bola de uma das caixas: é azul. Qual a probabilidade de ter sido extraída da primeira caixa?

Em uma joalheria, cada um dos três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um relógio de prata. Escolhido ao acaso um armário, e aberta uma das gavetas, verifica-se conter um relógio de prata. Qual a probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido conter um relógio de ouro?

A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas; a urna II, 4 brancas e 1 preta; a urna III 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna?

Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. Extraem-se três sucessivamente. Determine a probabilidade de serem alternadamente, ímpar - par - ímpar ou par - ímpar - par.

Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 8 azuis. Extraem-se cinco ao acaso , sem reposição. determinar a probabilidade de serem 3 vermelhas e 2 azuis.

Extraem-se três cartas de um baralho usual de 52 cartas. Determinar a probabilidade de:

serem todas do mesmo naipe    b) saírem ao menos dois ases.

Joga-se repetidas vezes um par de dados. Determinar a probabilidade de aparecer a soma 11 pela primeira vez na sexta jogada.

Determinar a probabilidade de obter a soma 7 em ao menos uma vez  dentre três jogadas de um par de dados.

Uma moeda é lançada até que ocorra coroa. Qual a probabilidade dela ser lançada 10 vezes?

A probabilidade de um indivíduo atingir um alvo é 2/3. Se ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Qual a probabilidade de serem necessários cinco tiros?

A caixa A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a caixa B, 4 vermelhas e 2 brancas. Extraí-se ao acaso uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B, sem observar a cor. Extrai-se então uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de ser branca?

Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro problema , 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:

Não tenha acertado nenhum problema  b) tenha acertado apenas o segundo problema  c) tenha             acertado a pelo menos um problema.

Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B, C, constatou-se que entre 2000 famílias,  assinam:

A: 500, B: 450 , C: 350, A e B : 120,  A e C : 220, B e C 150 e 80 assinam os três. Escolhendo-se acaso

uma família, qual a probabilidade de que ela:

Assine pelo menos um jornal    b) não assine nenhum dos três jornais c) assine apenas um dos três jornais.

Vinte pessoas estão em uma sala usando crachás numerados de 1 a 20. Três pessoas são escolhidas ao acaso e retiradas da sala. Os números de seus crachás são anotados. qual a probabilidade de que o menor número seja 7?

Temos quatro números positivos e seis negativos. Escolhemos 4 números ao acaso e efetuamos o produto deles. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?

Cinco cartas vão ser retiradas de um baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidade de que as cinco cartas sejam do mesmo naipe?

Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 8 pares de meias brancas. Tiram-se duas meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar:

Um par verde?  , b) um par de meias da mesma cor?,  c) um par com meias de cores diferentes?

Uma sala possui 3 soquêtes para lâmpadas. De uma caixa  com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3 lâmpadas ao  acaso e colocam-se as mesmas  nos bocais. Qual a probabilidade de que:

Todas acendam?   b) pelo menos uma lâmpada  acenda?

Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas , 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azuis e uma amarela?

Duas pessoas lançam cada uma três moedas. Qual a probabilidade de que tirem o mesmo número de coroas?

Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas uma a uma, até que duas ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última ruim seja encontrada no: a) segundo teste b) terceiro teste  c) quarto teste.

A experiência mostra que determinado aluno A tem probabilidade 0,9 de resolver e acertar um exercício novo que lhe é proposto. Seis novos exercícios são apresentados ao aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que resolva e acerte no máximo dois exercícios?

Uma urna tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retiram-se 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam brancas?

Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X, Y,e Z. X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso  uma das lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade de que seja boa?

Considerando o exercício 48: Sendo a lâmpada escolhida DEFEITUOSA, qual a probabilidade que tenha sido produzida pela fabrica X?

Dez cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho usual de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de copas?

Um professor de probabilidade propôs a seus alunos o seguinte problema: SÃO DADAS DUAS MOEDAS, UMA PERFEITA (probabilidade de cara igual 1/2), E OUTRA COM DUAS CARAS. UMA MOEDA É ESCOLHIDA AO ACASO E LANÇADA TRÊS VEZES. QUAL A PROBABILIDADE QUE SEJA OBTIDA 3 CARAS?

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