Circunferência

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.

Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. 

A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Algumas definições  

Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.

Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.

Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.

O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.

Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.

Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.

Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.

Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.

Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.

Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as

extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.


O Comprimento da circunferência

Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.

No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.

 


Círculo

Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta  quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...

Agora pense, o que faríamos para:

* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?

Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.

A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.

Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.  

O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,

com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.

Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso. 

À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.

Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas. 


Equação reduzida da circunferência 

Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?

Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.

Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

(x - a)2 + (y - b)2 = R

Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R. 

Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r²  é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x²  + y²  = r²  .

Exemplo:

Seja uma circunferência cuja equação é:

(x - 2) ² + (y - 3)² = 100

Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:

Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)

Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ²  = 13

Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.  


Equação geral da circunferência

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:


Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é: (x - 2)² +(y + 3) ²  = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:



Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

 * os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
 * não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é  

x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.

Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

* 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16 

* 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio


Posição de um ponto em relação a uma circunferência  

Em relação à circunferência de equação (x - a) ² + (y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência

       

b) P pertence à circunferência

c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:  

* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;

* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;

* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² < 0, então P é interior à circunferência.  


Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e α :

 

 

 

 

 

 

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :

(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:

 

Assim:  

 


Condições de tangência entre reta e circunferência  

Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos:

a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

 

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P.


Posições Relativas entre Ponto e Circunferência  

* Externo: 
d > r ;
d - r > 0

 

* Interno: 
d < r
d - r < 0

* Pertence à Circunferência:   
d = r
d - r = 0


Posições Relativas  entre Reta e Circunferência 

* Tangente:

A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.

d = r

* Secante:

A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.

d <  r

* Externo: 

A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência

d > r  


Posições Relativas  entre duas Circunferências  

Obs: (d = distância entre os Centros)

1 - Não se interceptam:

* Externamente: 

A duas circunferências não têm ponto em comum.

d > r1 + r2

* Internamente:

As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.

d < |r1 - r2|

2 - São Tangentes:

* Externamente: 

As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.

d = r1 + r2

* Internamente: 

As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.

d = |r1 - r2|

3 - São Secantes:

As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.

|r1 - r2| < d < r1 + r2

4 - Caso particular: Concêntricas: 

As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.

d = 0


Conclusão

Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.

Por: Daiane Fernandes


Veja também:

Exercícios resolvidos:



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