Derivadas
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + 
x0 :
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando 
x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:
Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando Ora, quando x0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .x0 → 0 , já vimos que o quociente y0 / x0 representa a derivada da função y = f(x)
no ponto x0. Mas, o quociente y0 / x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando x0 → 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b.
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x0) = tgb
Guarde então a seguinte conclusão importante:
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A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0. |
Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!
Vamos lá!
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.
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Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10. |
Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x + x) = (x + x)2 = x2 + 2x.x + (x)2
f(x + x) - f(x) = x2 + 2x.x + (x)2 - x2 = 2x.x + (x)2
y = f(x + x) - f(x) = x2 + 2x.x + (x)2 - x2 = 2x.x + (x)2
Portanto,
Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.
Qual a interpretação geométrica do resultado acima?
Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que
b » 87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000 .
Resposta: 5.
