Polinômios

Definição 

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Onde:
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.
n  IN
x C (nos complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO: 

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.

Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

Valor numérico 

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x3+2x2+x-4
P(2)= 23+2.22+2-4
P(2)= 14 

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0  => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0
3a = -10  =>  a=-10/3
Resposta: a = -10/3

2º) Calcular m IR para que o polinômio
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:
a) do 3ºgrau      b) do 2º grau       c) do 1º grau

Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então:
m2-10  =>  m21  => m1
m+10  => m-1 
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1.  

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então: 
m2-1=0  =>  m2=1  => m=±1 
m+10  => m-1 
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.  

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então: 
m2-1=0  =>  m2=1  => m=±1 
m+1=0  => m=-1 
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.  

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução: 
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c. 
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). 
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: 
P(1)=0  => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0  =>  1+a+b+c=0  => a+b+c=-1 
P(2)=0  => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0  =>  8+4a+2b+c=0  => 4a+2b+c=-8 
P(3)=30  => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30  =>  27+9a+3b+c=30  => 9a+3b+c=3  

Temos um sistema de três variáveis:  

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: 
a=9,  b=-34,  c=24 
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24. 
O problema pede P(-1): 
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24  =>  P(-1)=-1+9+34+24 
P(-1)= 66 
Resposta: P(-1)= 66


Polinômios iguais  

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. 

Exemplo:  
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). 
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:  x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 
1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)  
  

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:  
Substituindo a 1ª equação na 2ª: 
1+c = -2 => c=-3. 
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: 
a-3=1 => a=4. 
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 
4+b=1 => b=-3. 
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.  

 

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.  


Divisão de polinômios
  

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:  
  
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0  

Nessa divisão: 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão.  

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x)  ⇔  R(x)=0  

Exemplo: 
Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2. 
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

 

Verificamos que: 

    

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b  

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. 
  

Utilizando o método da chave temos:  

Logo: R(x)=3 
A raiz do divisor é 2x-1=0  => x=1/2. 
Agora calculamos P(x) para x=1/2. 
P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3 
P(1/2) = 3  

 

Observe que R(x) = 3 = P(1/2) 
Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.   


Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).  
Note que –b/a é a raiz do divisor.  

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1. 
Resolução: Achamos a raiz do divisor: 
x+1=0  =>  x=-1 
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): 
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x) 
Resposta: R(x) = -5.


Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0   

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2.  Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. 
P(2)=0  =>  2.8+5.4-2p+2=0  =>  16+20-2p+2=0  =>  p=19
Resposta: p=19.

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b) 

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.

Temos:
a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1  (eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2  (eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)  (eq. 3) 

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d 

Da eq.3 vem:
P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d
Fazendo:

x=a  =>  P(a) = c(a)+d   (eq.
4)

x=b  =>  P(b) = c(b)+d   (eq.
5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos: 

Resolvendo o sistema obtemos:

 

Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:
P(a)= r1 =0

P(b)= r2 =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:  

2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).
 
 

Exemplo:
Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6   (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8   (eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)  (eq. 3
 

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b 
 

Da eq.3 vem:
P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b
Fazendo:
x=0  =>  P(0) = a(0)+b  =>  P(0) = b     (eq.
4)
x=1  =>  P(1) = a(1)+b  =>  P(1) = a+b  (eq.
5

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos: 

Logo: b=6 e a=2.
Agora achamos o resto:  R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta:
R(x) = 2x+6


O dispositivo de Briot-Ruffini  

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). 
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).
Resolução: 
   
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. 
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.  

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. 
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.   


Decomposição de um polinômio em fatores  

Vamos analisar dois casos: 

1º caso: O polinômio é do 2º grau. 
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes
r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: 

ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2)

Exemplos: 
1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. 
     Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
 
 
Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).  

2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10. 
     Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. 
      Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).  

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. 
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.  

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x. 
Resolução: 
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  ⇒  colocando x em evidência 
Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0. 
Uma das raízes já encontramos (x=0). 
As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2. 
Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é: 
2.x.(x-1).(x+(1/2)) 

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 =  an(x-r1)(x-r2)...(x-rn) 

Observações: 
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. 
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3<


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