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Produtos Notáveis

A linguagem algébrica, inicialmente facilitadora da resolução de problemas, é hoje poderosa ferramenta da modelagem matemática de diferentes fenômenos. Mesmo para situações mais simples, existem fórmulas definidas que tornam a resolução mais rápida, como é o caso dos produtos notáveis.

Chamamos de produtos notáveis algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas que apresentam resultados padronizados. O conhecimento desses padrões possibilita reduzir a quantidade de cálculos, agilizando o trabalho em cálculo algébrico. Vejamos alguns deles, considerando a e b pertencentes aos reais (R).

1 – Quadrado da soma de dois termos

Reduzindo: (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2  = a2 + 2ab + b2

Forma o produto notável: (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

Exemplo: (x+3)2 = x2+6x+9

2 – Quadrado da diferença de dois termos

(a − b) 2  = (a − b) · (a − b) = a2  − ab − ba + b2  = a2  – 2ab + b2

(a – b) 2  = a2  – 2ab + b2

Observação
As expressões a2 + 2ab + b2 (I) e a2 – 2ab + b2 (II) são chamadas trinômios quadrados perfeitos, pois apresentam dois termos quadrados perfeitos (a2 e b2) e o terceiro termo é o duplo produto das bases desses quadrados perfeitos precedido do sinal de + (em I) ou de – (em II).

3 – Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) · (a − b) = a2 – ab + ba − b2 = a2 − b2

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

4 – Cubo da soma de dois termos

(a + b) 2 = (a + b) · (a + b) 2 = (a + b) · ( a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3

(a + b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

5 – Cubo da diferença de dois termos

(a − b) 3 = (a − b) · (a − b) 2 = (a − b) · (a2 − 2ab + b2)
(a − b) 3  = a3 – 2a2 b + ab2 – a2 b + 2ab2 – b3

(a − b) 3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Produtos notáveis

Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2

(x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2

(x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

(x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

(x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

(x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

(x-2)(x2+2x+4) = x3-8

Exercícios resolvidos:

1) Desenvolva:

a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

2) Efetue as multiplicações:

a) (x-2)(x-3)

(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4)

(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20

3) Simplifique as expressões:

a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2  =  x2+2xy+y2–x2-y2   2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5)  =

x2-5x-14+ x2-2x-15  =  2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)

(2x-y)2-4x(x-y)  =  (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy  =  4x2-4xy+y2-4x2+4xy =  y2