A linguagem algébrica, inicialmente facilitadora da resolução de problemas, é hoje poderosa ferramenta da modelagem matemática de diferentes fenômenos. Mesmo para situações mais simples, existem fórmulas definidas que tornam a resolução mais rápida, como é o caso dos produtos notáveis.
Chamamos de produtos notáveis algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas que apresentam resultados padronizados. O conhecimento desses padrões possibilita reduzir a quantidade de cálculos, agilizando o trabalho em cálculo algébrico. Vejamos alguns deles, considerando a e b pertencentes aos reais (R).
1 – Quadrado da soma de dois termos
Reduzindo: (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Forma o produto notável: (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
Exemplo: (x+3)2 = x2+6x+9
2 – Quadrado da diferença de dois termos
(a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 – 2ab + b2
(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2
Observação
As expressões a2 + 2ab + b2 (I) e a2 – 2ab + b2 (II) são chamadas trinômios quadrados perfeitos, pois apresentam dois termos quadrados perfeitos (a2 e b2) e o terceiro termo é o duplo produto das bases desses quadrados perfeitos precedido do sinal de + (em I) ou de – (em II).
3 – Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b) · (a − b) = a2 – ab + ba − b2 = a2 − b2
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
4 – Cubo da soma de dois termos
(a + b) 2 = (a + b) · (a + b) 2 = (a + b) · ( a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
5 – Cubo da diferença de dois termos
(a − b) 3 = (a − b) · (a − b) 2 = (a − b) · (a2 − 2ab + b2)
(a − b) 3 = a3 – 2a2 b + ab2 – a2 b + 2ab2 – b3
(a − b) 3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Produtos notáveis | Exemplos |
(a+b)2 = a2+2ab+b2 | (x+3)2 = x2+6x+9 |
(a-b)2 = a2-2ab+b2 | (x-3)2 = x2-6x+9 |
(a+b)(a-b) = a2-b2 | (x+3)(x-3) = x2-9 |
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab | (x+2)(x+3) = x2+5x+6 |
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 | (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 |
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 | (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 |
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 | (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 |
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 | (x-2)(x2+2x+4) = x3-8 |
Exercícios resolvidos:
1) Desenvolva:
a) (3x+y)2
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2
b) ((1/2)+x2)2
((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4
c) ((2x/3)+4y3)2
((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6
d) (2x+3y)3
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3
e) (x4+(1/x2))3
(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)
(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2
2) Efetue as multiplicações:
a) (x-2)(x-3)
(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6
b) (x+5)(x-4)
(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20
3) Simplifique as expressões:
a) (x+y)2–x2-y2
(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) =
x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29
c) (2x-y)2-4x(x-y)
(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2
