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Progressão Geométrica (P.G.)

Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a1, a2, a3, a4, …, an,…), então se ela for uma P.G. an = an-1 . q , com n2 e nIN, onde:

a1 – 1º termo

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.s

1. Crescente:

2. Decrescente:

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Vamos considerar uma P.G. (a1, a2, a3, a4,…, an,…). Pela definição temos:

a1 = a1

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem:

an = a1.q.q.q….q.q
(n-1 fatores)

        an = a1

  Termo Geral da P.A.  

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2  elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G. Mais à frente resolveremos alguns problemas envolvendo Interpolação.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a  P.G. (a1, a2, a3, a4, …, an-1, an…), de razão  e a soma Sn de seus n termos pode ser expressa por:

Sn = a1+a2+a3+a4… +an(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem:

q.Sn = (a1+a2+a3+a4… +an).q

q.Sn = a1.q+a2.q+a3 +.. +an.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),

temos:

q.Sn – Sn = an . q – a1  

Sn(q – 1) = an . q – a1 ou 

 , com  

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:

 

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Dada a  P.G. infinita: (a1, a2, a3, a4, …), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

          an = a1.

1. Se a1= 0 S = 0, pois

2. Se q <–1 ou q > 1, isto é  e a10, S tende a ou . Neste caso é impossível calcular a soma S dos termos da P.G.

3. Se –1< q < 1, isto é, e a10, S converge para um valor finito. Assim a partir da Fórmula da soma dos n termos de uma P.G. , vem:

Quando n tende a  , qn tende a zero, logo:

 que é a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Infinita.

Obs.: S nada mais é do que o limite da Soma dos termos da P.G., quando n tende para É representada desta forma:

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a  P.G. finita: (a1, a2, a3, …an-1, an), de razão q e P seu produto, que é dado por:

ou

Multiplicando membro a membro, vem:

 Esta é a fórmula do produto dos termos de uma P.G. finita.

 Podemos também escrever esta fórmula de outra forma, pois:

Logo: 

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