Os critérios de divisibilidade permitem:
1. Reconhecer, sem realizar a divisão, se um número é divisível por outro.
2. Decompor um número como produto de seus fatores primos.
Evolução histórica da divisibilidade
Os indianos conheciam a divisibilidade por 3, 7 e 9. Os gregos e os egípcios estabeleceram a classificação dos números em pares e ímpares.
O matemático francês Blaise Pascal (1623-1662) propôs as regras para determinar a divisibilidade por qualquer número.
Principais critérios de divisibilidade
Os principais critérios que permitem saber se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 e 12, sem necessidade de realizar as divisões, são os seguintes:
Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo for zero ou par.- Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3.
- Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.
- Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo for zero ou 5.
- Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente.
- Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8.
- Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo for zero.
- Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma de seus algarismos de posição par e a soma de seus algarismos de posição ímpar for zero ou um múltiplo de 11
- Um número é divisível por 12 se for divisível por 3 e 4 simultaneamente.
- Lembrando que, se a é múltiplo de b, então o é divisível por b.
Exemplos:
Aplicar os critérios de divisibilidade ao número 1254:
- é divisível por 2 porque termina em algarismo par;
- é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é múltiplo de 3: 1 + 2 + 5 + 4 = 12;
- não é divisível por 5 porque o último algarismo não é zero nem 5;
- é divisível por 1 1 porque:
soma dos algarismos de posição par: 2 + 4 = 6
soma dos algarismos de posição ímpar: 1+5 = 6
resto ou diferença: 6 — 6 = 0
O número 8085 é divisível por 15?
Sabe-se que 15 = 3-5. Então, para que um número seja divisível por 15, ele deve ser divisível por 3 e por 5.
Verificar se é divisível por 3: 8 + 0 + 8 + 5 = 21. Ele é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos é múltiplo de 3.
Verificar se é divisível por 5. Ele é divisível por 5 porque termina em 5.
Então, o número 8085 é divisível por 15.
O número 4906 é múltiplo de 1 1 ?
1. Somar os algarismos que ocupam a posição par no número:
9 + 6 = 15
2. Somar os algarismos que ocupam a posição ímpar
4 + 0 = 4
3. Calcular a diferença entre os resultados:
15 -4 = 11
Nesse caso, 11, o resultado, é múltiplo de 11; logo, 4906 também é.
Qual deve ser o valor de a para que o número 3a2 seja múltiplo de 3?
Um número será múltiplo de 3 (ou divisível por 3) se a soma de seus algarismos também for.
1. Estudar a soma dos algarismos desse número:
3+a+2=5+a
Logo, os valores do algarismo o serão aqueles que farão com que essa soma seja múltiplo de 3.
2. Experimentar valores para o de modo que se cumpra essa propriedade.
a = 1, já que 5 + 1 = 6.
a = 4, já que 5 + 4 = 9.
a = 7, já que 5 + 7 = 12.
Por: Osvaldo Shimenes Santos
