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Critérios de Divisibilidade

Os critérios de divisibilidade permitem:

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1. Reconhecer, sem realizar a divisão, se um número é divisível por outro.

2. Decompor um número como produto de seus fatores primos.

Evolução histórica da divisibilidade

Os indianos conheciam a divisibilidade por 3, 7 e 9. Os gregos e os egípcios estabeleceram a classificação dos números em pares e ímpares.

O matemático francês Blaise Pascal (1623-1662) propôs as regras para determinar a divisibilidade por qualquer número.

Principais critérios de divisibilidade

Os principais critérios que permitem saber se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 e 12, sem necessidade de realizar as divisões, são os seguintes:

  • Sinal da DivisãoUm número é divisível por 2 quando seu último algarismo for zero ou par.
  • Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3.
  • Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.
  • Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo for zero ou 5.
  • Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente.
  • Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8.
  • Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo for zero.
  • Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma de seus algarismos de posição par e a soma de seus algarismos de posição ímpar for zero ou um múltiplo de 11
  • Um número é divisível por 12 se for divisível por 3 e 4 simultaneamente.
  • Lembrando que, se a é múltiplo de b, então o é divisível por b.

Exemplos:

Aplicar os critérios de divisibilidade ao número 1254:

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  • é divisível por 2 porque termina em algarismo par;
  • é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é múltiplo de 3: 1 + 2 + 5 + 4 = 12;
  • não é divisível por 5 porque o último algarismo não é zero nem 5;
  • é divisível por 1 1 porque:

soma dos algarismos de posição par: 2 + 4 = 6
soma dos algarismos de posição ímpar: 1+5 = 6
resto ou diferença: 6 — 6 = 0

O número 8085 é divisível por 15?

Sabe-se que 15 = 3-5. Então, para que um número seja divisível por 15, ele deve ser divisível por 3 e por 5.

Verificar se é divisível por 3: 8 + 0 + 8 + 5 = 21. Ele é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos é múltiplo de 3.
Verificar se é divisível por 5. Ele é divisível por 5 porque termina em 5.
Então, o número 8085 é divisível por 15.

O número 4906 é múltiplo de 1 1 ?

1. Somar os algarismos que ocupam a posição par no número:

9 + 6 = 15

2. Somar os algarismos que ocupam a posição ímpar

4 + 0 = 4

3. Calcular a diferença entre os resultados:

15 -4 = 11

Nesse caso, 11, o resultado, é múltiplo de 11; logo, 4906 também é.

Qual deve ser o valor de a para que o número 3a2 seja múltiplo de 3?

Um número será múltiplo de 3 (ou divisível por 3) se a soma de seus algarismos também for.

1. Estudar a soma dos algarismos desse número:

3+a+2=5+a

Logo, os valores do algarismo o serão aqueles que farão com que essa soma seja múltiplo de 3.

2. Experimentar valores para o de modo que se cumpra essa propriedade.

a = 1, já que 5 + 1 = 6.
a = 4, já que 5 + 4 = 9.
a = 7, já que 5 + 7 = 12.

Por: Osvaldo Shimenes Santos

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