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Determinantes

Ao realizar-se operações entre os elementos de uma matriz quadrada, associa-se um número chamado determinante da matriz. Representa-se como det A o determinante da matriz A e os parênteses, colchetes ou barras duplas são substituídos por barras simples.

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Tomando como exemplo a matriz A = Exemplo , que pode também ser expressa entre colchetes ou barras duplas, seu determinante será representado como det A=Exemplo

Determinante de matriz de ordem 1

Uma matriz quadrada de ordem 1 apresenta apenas um elemento: o valor do seu determinante é o próprio valor desse único elemento.

Exemplo:

Exemplo

Determinante de matriz de ordem 2

Para obter o valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, é preciso calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.

Exemplo:

Exemplo

Determinante de matriz de ordem maior ou igual a 3

Existem dois métodos para o cálculo do determinante de matrizes cuja ordem é maior ou igual a 3. O primeiro, mais aconselhável para ordens próximas de 3, é a regra de Sarrus. O segundo, mais geral, é o cálculo por meio do teorema de Laplace.

Regra de Sarrus

Tomando uma matriz A de ordem 3, calcula-se o seu determinante procedendo da seguinte maneira:

Exemplo1.Copiar ao lado da matriz suas duas primeiras colunas.

Exemplo2.Multiplicar os elementos da diagonal principal, realizando o mesmo procedimento para suas paralelas à direita.

Exemplo

3.Multiplicar os elementos da diagonal secundária, realizando o mesmo procedimento para suas paralelas à direita.

Exemplo4.Subtrair as somas dos produtos obtidos nos passos 2 e 3, nessa ordem, assim:

det A = (0 + 2 + 60) – (15 + 0 + 48)

O determinante da matriz A é dado por:

det A = 62 – 63 = -1

Para matrizes cuja ordem é maior que 3, realizam-se os mesmos procedimentos, porém, no primeiro passo, deve-se copiar ao lado da matriz todas as suas colunas, exceto a última à direita.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

Antes de desenvolver esse teorema, é preciso aprender alguns conceitos necessários para usá-lo.

Matriz Reduzida

Dada uma matriz quadrada A, a matriz reduzida Aij é obtida eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz A.

Exemplo:

Seja a matriz A = Exemploa matriz reduzida A13 é obtida eliminando-se a primeira linha e a terceira coluna da matriz A

Exemplo

Já a matriz reduzida A21 é obtida eliminando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz A.

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ExemploCofator

Dada uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2, chama-se cofator de um elemento aij de A o número real Cij = (-1) i+j  . ⌈Aij⌉, sendo Aij matriz reduzida obtida a partir de A eliminando-se a linha i e a coluna j.

Exemplo:

Calcular o cofator do elemento a23 da matriz A, utilizada no exemplo anterior.

Exemplo

Portanto, o cofator do elemento a23 da matriz A é 9.

Calculando o determinante pelo teorema de Laplace

Para calcular o determinante da matriz A = Exemplo, utilizada em exemplos  anteriores, e preciso:

  • escolher uma fila (linha ou coluna);
  • calcular os cofatores dos elementos dessa fila;
  • somar o produto de cada elemento dessa fila pelo seu respectivo

Escolhendo a terceira coluna: Exemplo

Exemplo

Outros teoremas importantes

Teorema de Binet

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então vale det (A • B) = det A • det B.

Exemplo:

Nas matrizes A = Exemploos determinantes são: det A = -5 e det B = 1.

O produto entre as matrizes A e B é dado por.Exemplo

Assim, det (A • B) = 12 • 0 – 5 • 1 = -5.

Dessa forma, fica comprovado que det (A • B) = det A • det B, já que -5 = ⌈-5⌉ • 1.

Consequência do teorema de Binet

O determinante da matriz inversa da matriz A é igual ao inverso do determinante da matriz A.

Para comprovar isso, parte-se da definição de matriz inversa. Dela, decorre que A . A -1 = / e como det / = 1 para qualquer ordem, pode-se escrever:

Exemplo

Teorema de Jacobi

Dada uma matriz A de ordem qualquer, se for adicionada uma fila de A a uma fila paralela, previamente multiplicada por uma constante real, tem-se uma matriz B cujos determinantes serão os mesmos.

Exemplo:

Dadas as matrizes A  Exemplo

Observa-se que a segunda linha de B é a soma da segunda linha de A com o triplo da terceira linha de A.

Exemplo

Dessa forma, conclui-se que seus determinantes são iguais.

Por: Paulo Magno da Costa Torres

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