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Dízimas Periódicas

Notação de uma Dízima Periódica

Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes :

Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais

1º Caso:  Número Decimal Exato

Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.

Exemplo 1: A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 4 só contém o fator primo 2 ( 4 = 22 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2

Exemplo 2: A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 125 só contém o fator primo 5 ( 125 = 53 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3

Exemplo 3: A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 4

2º Caso: Dízima Periódica Simples

Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferentes dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.

Exemplo 4: A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3 ( 9 = 32 )

Exemplo 5: A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11         ( 77 = 7 x 11)

Exemplo 6: A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13       ( 117 = 32 x 13 )

3º Caso: Dízima Periódica Composta

Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do ante-período será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.

Exemplo 7: A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 é 1.

Exemplo 8: A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator primo 13 ( 52 = 22 x 13 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2.

Exemplo 9: A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 ( 680 = 23 x 5 x 17 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 3

Geratriz de uma Dízima Periódica

Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa dízima.

Exemplo 1: 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…

Exemplo 2: 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666…

Geratriz de uma Dízima Periódica Simples

A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,555…

Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1,363636…

Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,006006006…

Geratriz de uma Dízima Periódica Composta

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido do período e diminuído do ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante-período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Exemplo 1: Calcular a geratriz de 0,03666…

Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1,4(30)

Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,14272727…

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Em problemas e expressões, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as operações necessárias.

Exercícios Propostos :

I – Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a resposta for uma decimal exata, determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica composta determine o número de casa decimais do ante-período.

01) 02) 03)
04) 05) 06)
07) 08) 09)
10) 11) 12)

13 – Determine todos os valores possíveis de  para que a fração   se converta numa decimal exata com três casas decimais.

14 – Determine os valores naturais de m e p para a fração  se

converta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.

15 – Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração seja a geratriz de uma dízima periódica simples.

16 – Determine o valor mínimo da soma dos naturais  de modo que a fração  se converta numa dízima periódica composta com 2 algarismos na parte não periódica.

II – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :

17) 0,555… 18) 1,030303…
19) 2,(36) 20) 0,003003003…
21) 1,(09) 22) 2,027027027…
23) 5,018018018… 24) 0,0666…
25) 1,04727272… 26) 2,06818181…
27) 1,32(4) 28) 1,291666…
29) 1,05(3) 30) 3,61666…

III – Calcule o valor das expressões abaixo :

31)    32 –  0,(15) – ( 0,333…)2 =

Respostas dos Exercícios

01) D.E. – 3 casas 02) D.P.S.
03) D.P.C. – 2 casas 04) D.P.S.
05) D.P.S. 06) D.P.C. – 3 casas
07) D.P.C. – 3 casas 08) D.E. – 5 casas
09) D.E. – 2 casas 10) D.P.C. – 2 casas
11) D.E. – n casas se np

D.E. – p casas se pn

12) D.E. – 3 casas
13)
14)
15)
16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25) 26)
27) 28)
29) 30)
31) Zero 32)

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