► Dízimas Periódicas

I – Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais  

Já aprendemos que para transformarmos uma fração não decimal ( fração ordinária ) em um número decimal basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração.  

Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e para tal transformemos as frações ordinárias em números decimais. 

1º Caso : Ao transformarmos a fração  em um número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato, ou numa decimal exata. 

2 º Caso : Ao transformarmos a fração  num número decimal, encontraremos 1,666... e o resto 2,  que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo 6 que se repete indefinidamente é chamado período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o período 6. 

3º Caso : Ao transformarmos a fração num número decimal, encontraremos 0,58333... e o resto 4,  que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração  se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não período ou ante-período. A dízima 0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante-período 58 e somente após vem o período 3.

II – Notação de uma Dízima Periódica 

Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes :  

III – Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais

1º Caso :  Número Decimal Exato – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.

Exemplo 1 :  A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 4 só contém o fator primo 2 ( 4 = 22 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2

Exemplo 2 :  A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 125 só contém o fator primo 5 ( 125 = 53 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3

Exemplo 3 :  A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 4

2º Caso :  Dízima Periódica Simples – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferentes dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.

Exemplo 4 :  A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3 ( 9 = 32 )

Exemplo 5 :  A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11         ( 77 = 7 x 11)

Exemplo 6 :  A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13       ( 117 = 32 x 13 )

3º Caso :  Dízima Periódica Composta – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do ante-período será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.

Exemplo 7 :  A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 é 1.

Exemplo 8 :  A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator primo 13 ( 52 = 22 x 13 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2.

Exemplo 9 :  A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 ( 680 = 23 x 5 x 17 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 3

IV – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa dízima.

Exemplo 1 : 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333...

Exemplo 2 : 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666...

V – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES

A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,555...

Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,363636...

Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,006006006...

VI - GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido do período e diminuído do ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante-período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,03666...

Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,4(30)

Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,14272727...

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Em problemas e expressões, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as operações necessárias.

Exercícios Propostos :

I – Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a resposta for uma decimal exata, determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica composta determine o número de casa decimais do ante-período.

01)	02)	03)
04)	05)	06)
07)	08)	09)
10)	11)	12)

 13 – Determine todos os valores possíveis de  para que a fração   se converta numa decimal exata com três casas

decimais.

14 – Determine os valores naturais de m e p para a fração  se

converta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.

15 – Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração seja a geratriz de uma dízima periódica simples.

16 – Determine o valor mínimo da soma dos naturais  de modo que a fração  se converta numa dízima periódica composta com 2 algarismos na parte não periódica.

II – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :

17) 0,555...	18) 1,030303...
19) 2,(36)	20) 0,003003003...
21) 1,(09)	22) 2,027027027...
23) 5,018018018...	24) 0,0666...
25) 1,04727272...	26) 2,06818181...
27) 1,32(4)	28) 1,291666...
29) 1,05(3)	30) 3,61666...

 III – Calcule o valor das expressões abaixo :

31)    32 –  0,(15) – ( 0,333...)2 =

Respostas dos Exercícios

01) D.E. – 3 casas		02) D.P.S.
03) D.P.C. – 2 casas		04) D.P.S.
05) D.P.S.		06) D.P.C. – 3 casas
07) D.P.C. – 3 casas		08) D.E. – 5 casas
09) D.E. – 2 casas		10) D.P.C. – 2 casas
11) D.E. – n casas se np        D.E. – p casas se pn		12) D.E. – 3 casas
13)
14)
15)
16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)
23)	24)
25)	26)
27)	28)
29)	30)
31) Zero	32)