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► Dízimas Periódicas
I – Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais
Já aprendemos que para transformarmos uma fração não decimal ( fração ordinária ) em um número decimal basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração.
Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e para tal transformemos as frações ordinárias em números decimais.
1º Caso : Ao transformarmos a fração 
em um número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato, ou numa decimal exata.
em um número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato, ou numa decimal exata. 2 º Caso : Ao transformarmos a fração 
num número decimal, encontraremos 1,666... e o resto 2, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo 6 que se repete indefinidamente é chamado período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o período 6.
num número decimal, encontraremos 1,666... e o resto 2, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo 6 que se repete indefinidamente é chamado período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o período 6. 3º Caso : Ao transformarmos a fração 
num número decimal, encontraremos 0,58333... e o resto 4, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não período ou ante-período. A dízima 0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante-período 58 e somente após vem o período 3.
num número decimal, encontraremos 0,58333... e o resto 4, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não período ou ante-período. A dízima 0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante-período 58 e somente após vem o período 3. II – Notação de uma Dízima Periódica
Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes :
III – Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais
1º Caso : Número Decimal Exato – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 1 : A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 4 só contém o fator primo 2 ( 4 = 22 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2
Exemplo 2 : A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 125 só contém o fator primo 5 ( 125 = 53 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3
Exemplo 3 : A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 4
2º Caso : Dízima Periódica Simples – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferentes dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.
Exemplo 4 : A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3 ( 9 = 32 )
Exemplo 5 : A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11 ( 77 = 7 x 11)
Exemplo 6 : A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13 ( 117 = 32 x 13 )
3º Caso : Dízima Periódica Composta – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do ante-período será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 7 : A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 é 1.
Exemplo 8 : A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator primo 13 ( 52 = 22 x 13 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2.
Exemplo 9 : A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 ( 680 = 23 x 5 x 17 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 3
IV – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa dízima.
Exemplo 1 : 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333...
Exemplo 2 : 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666...
V – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,555...
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,363636...
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,006006006...
VI - GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido do período e diminuído do ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante-período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,03666...
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,4(30)
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,14272727...
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Em problemas e expressões, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as operações necessárias.
Exercícios Propostos :
I – Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a resposta for uma decimal exata, determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica composta determine o número de casa decimais do ante-período.
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01)
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02)
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03)
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04)
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05)
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06)
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07)
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08)
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09)
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10)
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11)
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12)
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13 – Determine todos os valores possíveis de 
para que a fração 
se converta numa decimal exata com três casas
decimais.
para que a fração se converta numa decimal exata com três casasdecimais.
14 – Determine os valores naturais de m e p para a fração 
se
converta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.
seconverta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.
15 – Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração 
seja a geratriz de uma dízima periódica simples.
seja a geratriz de uma dízima periódica simples.16 – Determine o valor mínimo da soma dos naturais 
de modo que a fração 
se converta numa dízima periódica composta
com 2 algarismos na parte não periódica.
de modo que a fração se converta numa dízima periódica compostacom 2 algarismos na parte não periódica.
II – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :
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17) 0,555...
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18) 1,030303...
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19) 2,(36)
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20) 0,003003003...
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21) 1,(09)
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22) 2,027027027...
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23) 5,018018018...
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24) 0,0666...
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25) 1,04727272...
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26) 2,06818181...
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27) 1,32(4)
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28) 1,291666...
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29) 1,05(3)
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30) 3,61666...
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III – Calcule o valor das expressões abaixo :
31) 
32 – 0,(15) – ( 0,333...)2 =
32 – 0,(15) – ( 0,333...)2 =Respostas dos Exercícios
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01) D.E. – 3 casas
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02) D.P.S.
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03) D.P.C. – 2 casas
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04) D.P.S.
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05) D.P.S.
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06) D.P.C. – 3 casas
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07) D.P.C. – 3 casas
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08) D.E. – 5 casas
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09) D.E. – 2 casas
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10) D.P.C. – 2 casas
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11) D.E. – n casas se n
 p D.E. – p casas se p
n |
12) D.E. – 3 casas
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13)
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14)
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15)
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16)
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17)
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18)
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19)
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20)
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21)
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22)
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23)
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24)
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25)
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26)
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27)
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28)
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29)
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30)
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31) Zero |
32)
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