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Percentagem

Percentagem? Ora, isto todo mundo sabe!!!

Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens ou porcentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muitos professores cometem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.

Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.

Significado do sinal de percentagem: %

O sinal % é uma mera abreviação da expressão: dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma coisa que 800/100, que é o mesmo que 8 por 1. Ou seja, é a mesma coisa dizermos: 800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1, etc.


O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:

EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCÍCIO 2

Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCICIO 4

No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo do livro?

RESPOSTA: 285,4 %

EXERCICIO 5 (muito importante)

A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?

RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de malarientos passa de M para

M' = ( 1 + x )2 M = 2 M

Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.


Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para   v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para   v - 0,20 v = 0,80 v.

EXERCICIO 6

Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 7

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

  • a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.
  • o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")

RESPOSTA: 8.5 %


Pontos percentuais

A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais

se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual

se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.

 
Exercícios suplementares

EXERCICIO 9

A produção de uma fábrica aumentou de 240 para 312 unidades. Consequentemente, houve um aumento de 30% na produtividade. Pergunta-se:

porque está errado dizer que a produtividade antiga era 70% da atual?

o erro apontado acima é maior quando o aumento de produtividade for um percentual grande ou quando for um percentual pequeno? Por quê?

EXERCICIO 10

Os honorários de uma agência de propaganda são compostos de duas parcelas: o custo de produção ( artistas, filmes, etc ) e uma comissão de 15% sobre o custo de produção. Por sua vez o IR ( Imposto de Renda ) cobra, da agência, um imposto que:

era de 5% do valor da comissão

passou a ser 5% do valor da comissão e mais 5% dos honorários

Pergunta-se:

Que percentual da comissão o IR representava? E agora?

O novo lucro é que percentual do antigo? Isso justifica a gritaria das agências?

RESPOSTAS: 5%, 43.3%, 59.7%

EXERCICIO 11

Na beirada de um jardim circular, foi feita uma calçada circular que aumentou a área do mesmo em 96%. Sendo que a calçada tem 4 metros de largura, pede-se o raio do jardim original.

RESPOSTA = 10 m

EXERCICIO 12

Explique por que o seguinte método funciona se, num restaurante, V. quiser acrescentar uma gorjeta de 15% à despesa D:

Primeiro escrevo o valor D e então movo a virgula decimal de D uma casa para a esquerda e escrevo essa quantidade sobre D. Finalmente, divido essa última quantidade por 2 e escrevo o resultado dessa divisão. O total a pagar é a soma das 3 quantias escritas.

EXERCICIO 13

Um quadrado tem 400 cm2 de área. De qual percentual devemos diminuir seu lado para que a área diminua 20% ?

RESPOSTA: aprox 10.56%

EXERCICIO 14

O último censo do município XYZ mostrou que no mesmo:

  • as mulheres representam 55% da população adulta
  • os homens adultos com no máximo escola primária completa representam 80% da população adulta
  • as mulheres adultas com no máximo escola primária completa representam 90% da população adulta

Que percentual da população adulta do município foi além da escola primária?

RESPOSTA: 14.5%

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