Física

Leis de Kepler

Em 1609, o alemão Johannes Kepler, utilizando os dados de observação de Tycho Brahe (um astrônomo dinamarquês cujas observações dos planetas eram precisas e sistemáticas), publicou as leis que regem os movimentos dos corpos celestes. Essas leis mais tarde ficariam conhecidas como leis de Kepler.

Com as observações feitas por Tycho Brahe sobre a órbita de Marte, Kepler tentou sem sucesso ajustar os dados em uma órbita circular em torno do Sol. Como ele confiava nos dados de Tycho Brahe, começou a imaginar que as órbitas não eram circulares.

Primeira lei de Kepler: lei das órbitas

Após longos anos de estudo e extensos cálculos matemáticos, Kepler conseguiu ajustar as observações de Marte com a órbita, chegando à conclusão que as órbitas são elipses e não circunferências. Assim, formula sua primeira lei:

Todo planeta gira ao redor do Sol em órbita elíptica, na qual o Sol ocupa um dos focos da elipse.

Primeira lei de Kepler.
Esquema da trajetória elíptica de um planeta em
torno do Sol.

No esquema, o ponto de maior proximidade do planeta em relação ao Sol é chamado de periélio; o ponto mais afastado é o afélio. A distância do periélio ou do afélio define o semieixo maior da elipse. A distância entre o Sol e o centro é chamada de distância focal.

Observação: Na realidade, as trajetórias elípticas dos planetas se assemelham a circunferências. Logo, a distância focal é pequena e os focos F1 e F2 são próximos do centro C.

Segunda lei de Kepler: lei das áreas

Ainda analisando os dados sobre Marte, Kepler percebeu que o planeta se movia mais rapidamente quando estava mais próximo do Sol, e mais lentamente quando estava mais afastado. Após inúmeros cálculos, na tentativa de explicar as diferenças na velocidade orbital, ele formulou a segunda lei.

O segmento de reta imaginário que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Segunda lei de Kepler.

Dessa forma, se um planeta demora o intervalo de tempo Δt1 para ir da posição 1 até a posição 2, determinando uma área A1, e um intervalo de tempo ∆t2 para ir da posição 3 até a posição 4, determinando uma área A2, pela segunda lei de Kepler temos que:

A1 = A2 ⇔ ∆t1 = ∆t2

Como os tempos são iguais, e a distância percorrida para ir da posição 1 até a posição 2 é maior que a distância percorrida para ir da posição 3 até a posição 4, Kepler concluiu que o planeta teria velocidade máxima no periélio e mínima do afélio. Dessa forma, podemos perceber que:

  • quando o planeta vai do afélio para o periélio, seu movimento é acelerado;
  • quando o planeta vai do periélio para o afélio, seu movimento é retardado.

Terceira lei de Kepler: lei dos períodos

Após nove anos de estudo aplicando a primeira e a segunda lei nas órbitas dos planetas do Sistema Solar, Kepler conseguiu relacionar o tempo de revolução (período) do planeta ao redor do Sol com a distância média (raio médio) do planeta ao Sol, enunciado assim a terceira lei.

O quadrado do período de translação de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita.

O raio médio da órbita (R) pode ser obtido pela média entre a distância do Sol ao planeta quando ele está no periélio e a distância do Sol ao planeta quando ele está no afélio.

Terceira lei de Kepler.

Sendo T o tempo necessário para o planeta completar uma volta ao redor do Sol (período de translação), de acordo com a terceira lei de Kepler obtemos:

Fórmula da terceira lei de Kepler.

Para chegar a essa relação, Kepler realizou os cálculos para os planetas do sistema solar e obteve os seguintes resultados.

Tabela com os planetas do Sistema Solar e suas órbitas e períodos de translação.

Na tabela podemos observar que o período de revolução dos planetas foi dado em anos, e que quanto maior for o raio médio da órbita, maior será o período de translação ou revolução. O raio médio foi dado em unidades astronômicas (UA), sendo que uma UA corresponde à distância média do Sol até a Terra, cerca de 150 milhões de quilômetros, ou 1,5 · 108 km.

Repare que aplicando a terceira lei de Kepler, todos os valores são próximos a um, indicando que essa razão é constante.

O fato de a razão ser constante permite que a terceira lei de Kepler seja utilizada para descobrir o período ou raio médio de outro planeta ou estrela. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo de exercício

O raio médio do planeta Marte é cerca de quatro vezes maior que o raio médio da órbita do planeta Mercúrio. Se o período de revolução Mercúrio é 0,25 anos, qual é o período de revolução Marte?

Resolução

Resolução de exercício das leis de Kepler.

Assim, para os planetas do Sistema Solar, temos:

Resposta.

Por fim, podemos dizer que as três leis de Kepler são válidas para quaisquer corpos em órbita de outro corpo, ou seja, podem ser aplicadas em outros sistemas planetários do Universo.

Por: Wilson Teixeira Moutinho

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